แก้โจทย์ {l}{y+2z/3=4}{5y/6+7z/3=8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 2 z } { 3 } = 4 } \\ { \frac { 5 y } { 6 } + \frac { 7 z } { 3 } = 8 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, z

$$y=18$$

$$z=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างด้วย 3

$$y+2z=4\times 3$$

คูณ 4 และ 3 เพื่อรับ 12

$$y+2z=12$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 6,3

$$5y+2\times 7z=48$$

คูณ 2 และ 7 เพื่อรับ 14

$$5y+14z=48$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y+2z=12$$

ลบ 2z จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-2z+12$$

ทดแทน -2z+12 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 5y+14z=48

$$5\left(-2z+12\right)+14z=48$$

คูณ 5 ด้วย -2z+12

$$-10z+60+14z=48$$

เพิ่ม -10z ไปยัง 14z

$$4z+60=48$$

ลบ 60 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4z=-12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$z=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ z ใน y=-2z+12 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=-2\left(-3\right)+12$$

คูณ -2 ด้วย -3

$$y=6+12$$

เพิ่ม 12 ไปยัง 6

$$y=18$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=18,z=-3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างด้วย 3

$$y+2z=4\times 3$$

คูณ 4 และ 3 เพื่อรับ 12

$$y+2z=12$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 6,3

$$5y+2\times 7z=48$$

คูณ 2 และ 7 เพื่อรับ 14

$$5y+14z=48$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{14-2\times 5}&-\frac{2}{14-2\times 5}\\-\frac{5}{14-2\times 5}&\frac{1}{14-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 48\\-\frac{5}{4}\times 12+\frac{1}{4}\times 48\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ z

$$y=18,z=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างด้วย 3

$$y+2z=4\times 3$$

คูณ 4 และ 3 เพื่อรับ 12

$$y+2z=12$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 6,3

$$5y+2\times 7z=48$$

คูณ 2 และ 7 เพื่อรับ 14

$$5y+14z=48$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

เพื่อทำให้ y และ 5y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$5y+5\times 2z=5\times 12,5y+14z=48$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$5y+10z=60,5y+14z=48$$

ลบ 5y+14z=48 จาก 5y+10z=60 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5y-5y+10z-14z=60-48$$

เพิ่ม 5y ไปยัง -5y ตัดพจน์ 5y และ -5y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$10z-14z=60-48$$

เพิ่ม 10z ไปยัง -14z

$$-4z=60-48$$

เพิ่ม 60 ไปยัง -48

$$-4z=12$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$z=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ z ใน 5y+14z=48 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$5y+14\left(-3\right)=48$$

คูณ 14 ด้วย -3

$$5y-42=48$$

เพิ่ม 42 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5y=90$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=18$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=18,z=-3$$