แก้โจทย์ {l}{y+1/3x-4=1/2}{5x+y/3x+11=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 1 } { 3 x - 4 } = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 5 x + y } { 3 x + 11 } = 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=4$$

$$y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับ \frac{4}{3} เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2\left(3x-4\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ 3x-4,2

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย y+1

$$2y+2=3x-4$$

ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$2y+2-3x=-4$$

ลบ 2 จากทั้งสองด้าน

$$2y-3x=-4-2$$

ลบ 2 จาก -4 เพื่อรับ -6

$$2y-3x=-6$$

พิจารณาสมการที่สอง ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับ -\frac{11}{3} เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3x+11

$$5x+y=3x+11$$

ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$5x+y-3x=11$$

รวม 5x และ -3x เพื่อให้ได้รับ 2x

$$2x+y=11$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2y-3x=-6$$

เพิ่ม 3x ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2y=3x-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -6+3x

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

ทดแทน \frac{3x}{2}-3 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง y+2x=11

$$\frac{3}{2}x-3+2x=11$$

เพิ่ม \frac{3x}{2} ไปยัง 2x

$$\frac{7}{2}x-3=11$$

เพิ่ม 3 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{7}{2}x=14$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{7}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ x ใน y=\frac{3}{2}x-3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=\frac{3}{2}\times 4-3$$

คูณ \frac{3}{2} ด้วย 4

$$y=6-3$$

เพิ่ม -3 ไปยัง 6

$$y=3$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$y=3,x=4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับ \frac{4}{3} เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2\left(3x-4\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ 3x-4,2

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย y+1

$$2y+2=3x-4$$

ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$2y+2-3x=-4$$

ลบ 2 จากทั้งสองด้าน

$$2y-3x=-4-2$$

ลบ 2 จาก -4 เพื่อรับ -6

$$2y-3x=-6$$

พิจารณาสมการที่สอง ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับ -\frac{11}{3} เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3x+11

$$5x+y=3x+11$$

ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$5x+y-3x=11$$

รวม 5x และ -3x เพื่อให้ได้รับ 2x

$$2x+y=11$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\left(-6\right)+\frac{3}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=3,x=4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับ \frac{4}{3} เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2\left(3x-4\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ 3x-4,2

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย y+1

$$2y+2=3x-4$$

ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$2y+2-3x=-4$$

ลบ 2 จากทั้งสองด้าน

$$2y-3x=-4-2$$

ลบ 2 จาก -4 เพื่อรับ -6

$$2y-3x=-6$$

พิจารณาสมการที่สอง ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับ -\frac{11}{3} เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3x+11

$$5x+y=3x+11$$

ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$5x+y-3x=11$$

รวม 5x และ -3x เพื่อให้ได้รับ 2x

$$2x+y=11$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

เพื่อทำให้ 2y และ y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$2y-3x=-6,2y+2\times 2x=2\times 11$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2y-3x=-6,2y+4x=22$$

ลบ 2y+4x=22 จาก 2y-3x=-6 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2y-2y-3x-4x=-6-22$$

เพิ่ม 2y ไปยัง -2y ตัดพจน์ 2y และ -2y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-3x-4x=-6-22$$

เพิ่ม -3x ไปยัง -4x

$$-7x=-6-22$$

เพิ่ม -6 ไปยัง -22

$$-7x=-28$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$x=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ x ใน y+2x=11 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y+2\times 4=11$$

คูณ 2 ด้วย 4

$$y+8=11$$

ลบ 8 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=3$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$y=3,x=4$$