แก้โจทย์ {l}{x-y/3-x+y/6=1/4}{x+y/4+frac{2x-y}{8}=-frac{1}{2}}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x - y } { 3 } - \frac { x + y } { 6 } = \frac { 1 } { 4 } } \\ { \frac { x + y } { 4 } + \frac { 2 x - y } { 8 } = - \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-\frac{21}{26}\approx -0.807692308$$

$$y=-\frac{10}{13}\approx -0.769230769$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,6,4

$$4\left(x-y\right)-2\left(x+y\right)=3$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย x-y

$$4x-4y-2\left(x+y\right)=3$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -2 ด้วย x+y

$$4x-4y-2x-2y=3$$

รวม 4x และ -2x เพื่อให้ได้รับ 2x

$$2x-4y-2y=3$$

รวม -4y และ -2y เพื่อให้ได้รับ -6y

$$2x-6y=3$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 8 ตัวคูณร่วมน้อยของ 4,8,2

$$2\left(x+y\right)+2x-y=-4$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x+y

$$2x+2y+2x-y=-4$$

รวม 2x และ 2x เพื่อให้ได้รับ 4x

$$4x+2y-y=-4$$

รวม 2y และ -y เพื่อให้ได้รับ y

$$4x+y=-4$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-6y=3,4x+y=-4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-6y=3$$

เพิ่ม 6y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=6y+3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(6y+3\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 6y+3

$$x=3y+\frac{3}{2}$$

ทดแทน 3y+\frac{3}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x+y=-4

$$4\left(3y+\frac{3}{2}\right)+y=-4$$

คูณ 4 ด้วย 3y+\frac{3}{2}

$$12y+6+y=-4$$

เพิ่ม 12y ไปยัง y

$$13y+6=-4$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$13y=-10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 13

$$y=-\frac{10}{13}$$

ทดแทน -\frac{10}{13} สำหรับ y ใน x=3y+\frac{3}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=3\left(-\frac{10}{13}\right)+\frac{3}{2}$$

คูณ 3 ด้วย -\frac{10}{13}

$$x=-\frac{30}{13}+\frac{3}{2}$$

เพิ่ม \frac{3}{2} ไปยัง -\frac{30}{13} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{21}{26}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{21}{26},y=-\frac{10}{13}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,6,4

$$4\left(x-y\right)-2\left(x+y\right)=3$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย x-y

$$4x-4y-2\left(x+y\right)=3$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -2 ด้วย x+y

$$4x-4y-2x-2y=3$$

รวม 4x และ -2x เพื่อให้ได้รับ 2x

$$2x-4y-2y=3$$

รวม -4y และ -2y เพื่อให้ได้รับ -6y

$$2x-6y=3$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 8 ตัวคูณร่วมน้อยของ 4,8,2

$$2\left(x+y\right)+2x-y=-4$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x+y

$$2x+2y+2x-y=-4$$

รวม 2x และ 2x เพื่อให้ได้รับ 4x

$$4x+2y-y=-4$$

รวม 2y และ -y เพื่อให้ได้รับ y

$$4x+y=-4$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-6y=3,4x+y=-4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-6\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-6\\4&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-6\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{-6}{2-\left(-6\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-6\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-6\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{26}&\frac{3}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{26}\times 3+\frac{3}{13}\left(-4\right)\\-\frac{2}{13}\times 3+\frac{1}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{21}{26}\\-\frac{10}{13}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{21}{26},y=-\frac{10}{13}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,6,4

$$4\left(x-y\right)-2\left(x+y\right)=3$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย x-y

$$4x-4y-2\left(x+y\right)=3$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -2 ด้วย x+y

$$4x-4y-2x-2y=3$$

รวม 4x และ -2x เพื่อให้ได้รับ 2x

$$2x-4y-2y=3$$

รวม -4y และ -2y เพื่อให้ได้รับ -6y

$$2x-6y=3$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 8 ตัวคูณร่วมน้อยของ 4,8,2

$$2\left(x+y\right)+2x-y=-4$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x+y

$$2x+2y+2x-y=-4$$

รวม 2x และ 2x เพื่อให้ได้รับ 4x

$$4x+2y-y=-4$$

รวม 2y และ -y เพื่อให้ได้รับ y

$$4x+y=-4$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-6y=3,4x+y=-4$$

เพื่อทำให้ 2x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$4\times 2x+4\left(-6\right)y=4\times 3,2\times 4x+2y=2\left(-4\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$8x-24y=12,8x+2y=-8$$

ลบ 8x+2y=-8 จาก 8x-24y=12 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8x-8x-24y-2y=12+8$$

เพิ่ม 8x ไปยัง -8x ตัดพจน์ 8x และ -8x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-24y-2y=12+8$$

เพิ่ม -24y ไปยัง -2y

$$-26y=12+8$$

เพิ่ม 12 ไปยัง 8

$$-26y=20$$

หารทั้งสองข้างด้วย -26

$$y=-\frac{10}{13}$$

ทดแทน -\frac{10}{13} สำหรับ y ใน 4x+y=-4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x-\frac{10}{13}=-4$$

เพิ่ม \frac{10}{13} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-\frac{42}{13}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=-\frac{21}{26}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{21}{26},y=-\frac{10}{13}$$