แก้โจทย์ {l}{x/92+y=58}{x-y/79=57}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 92 } + y = 58 } \\ { x - \frac { y } { 79 } = 57 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{419612}{7269} = 57\frac{5279}{7269} \approx 57.726234695$$

$$y = \frac{417041}{7269} = 57\frac{2708}{7269} \approx 57.372540927$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 92

$$x+92y=5336$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 79

$$79x-y=4503$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+92y=5336,79x-y=4503$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+92y=5336$$

ลบ 92y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-92y+5336$$

ทดแทน -92y+5336 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 79x-y=4503

$$79\left(-92y+5336\right)-y=4503$$

คูณ 79 ด้วย -92y+5336

$$-7268y+421544-y=4503$$

เพิ่ม -7268y ไปยัง -y

$$-7269y+421544=4503$$

ลบ 421544 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-7269y=-417041$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7269

$$y=\frac{417041}{7269}$$

ทดแทน \frac{417041}{7269} สำหรับ y ใน x=-92y+5336 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-92\times \frac{417041}{7269}+5336$$

คูณ -92 ด้วย \frac{417041}{7269}

$$x=-\frac{38367772}{7269}+5336$$

เพิ่ม 5336 ไปยัง -\frac{38367772}{7269}

$$x=\frac{419612}{7269}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{419612}{7269},y=\frac{417041}{7269}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 92

$$x+92y=5336$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 79

$$79x-y=4503$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+92y=5336,79x-y=4503$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-92\times 79}&-\frac{92}{-1-92\times 79}\\-\frac{79}{-1-92\times 79}&\frac{1}{-1-92\times 79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7269}&\frac{92}{7269}\\\frac{79}{7269}&-\frac{1}{7269}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7269}\times 5336+\frac{92}{7269}\times 4503\\\frac{79}{7269}\times 5336-\frac{1}{7269}\times 4503\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{419612}{7269}\\\frac{417041}{7269}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{419612}{7269},y=\frac{417041}{7269}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 92

$$x+92y=5336$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 79

$$79x-y=4503$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+92y=5336,79x-y=4503$$

เพื่อทำให้ x และ 79x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 79 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$79x+79\times 92y=79\times 5336,79x-y=4503$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$79x+7268y=421544,79x-y=4503$$

ลบ 79x-y=4503 จาก 79x+7268y=421544 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$79x-79x+7268y+y=421544-4503$$

เพิ่ม 79x ไปยัง -79x ตัดพจน์ 79x และ -79x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$7268y+y=421544-4503$$

เพิ่ม 7268y ไปยัง y

$$7269y=421544-4503$$

เพิ่ม 421544 ไปยัง -4503

$$7269y=417041$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7269

$$y=\frac{417041}{7269}$$

ทดแทน \frac{417041}{7269} สำหรับ y ใน 79x-y=4503 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$79x-\frac{417041}{7269}=4503$$

เพิ่ม \frac{417041}{7269} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$79x=\frac{33149348}{7269}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 79

$$x=\frac{419612}{7269}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{419612}{7269},y=\frac{417041}{7269}$$