แก้โจทย์ {l}{x/4+y/2=7}{x/3-y/4=2}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } + \frac { y } { 2 } = 7 } \\ { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 4 } = 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=12$$

$$y=8$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 4 ตัวคูณร่วมน้อยของ 4,2

$$x+2y=28$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,4

$$4x-3y=24$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+2y=28$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-2y+28$$

ทดแทน -2y+28 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x-3y=24

$$4\left(-2y+28\right)-3y=24$$

คูณ 4 ด้วย -2y+28

$$-8y+112-3y=24$$

เพิ่ม -8y ไปยัง -3y

$$-11y+112=24$$

ลบ 112 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-11y=-88$$

หารทั้งสองข้างด้วย -11

$$y=8$$

ทดแทน 8 สำหรับ y ใน x=-2y+28 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-2\times 8+28$$

คูณ -2 ด้วย 8

$$x=-16+28$$

เพิ่ม 28 ไปยัง -16

$$x=12$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=12,y=8$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 4 ตัวคูณร่วมน้อยของ 4,2

$$x+2y=28$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,4

$$4x-3y=24$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 4}&-\frac{2}{-3-2\times 4}\\-\frac{4}{-3-2\times 4}&\frac{1}{-3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 28+\frac{2}{11}\times 24\\\frac{4}{11}\times 28-\frac{1}{11}\times 24\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=12,y=8$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 4 ตัวคูณร่วมน้อยของ 4,2

$$x+2y=28$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,4

$$4x-3y=24$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

เพื่อทำให้ x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$4x+4\times 2y=4\times 28,4x-3y=24$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$4x+8y=112,4x-3y=24$$

ลบ 4x-3y=24 จาก 4x+8y=112 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-4x+8y+3y=112-24$$

เพิ่ม 4x ไปยัง -4x ตัดพจน์ 4x และ -4x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$8y+3y=112-24$$

เพิ่ม 8y ไปยัง 3y

$$11y=112-24$$

เพิ่ม 112 ไปยัง -24

$$11y=88$$

หารทั้งสองข้างด้วย 11

$$y=8$$

ทดแทน 8 สำหรับ y ใน 4x-3y=24 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x-3\times 8=24$$

คูณ -3 ด้วย 8

$$4x-24=24$$

เพิ่ม 24 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=48$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=12$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=12,y=8$$