แก้โจทย์ {l}{x/36-y=21}{x-y/20=16}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 36 } - y = 21 } \\ { x - \frac { y } { 20 } = 16 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{10764}{719} = 14\frac{698}{719} \approx 14.970792768$$

$$y = -\frac{14800}{719} = -20\frac{420}{719} \approx -20.584144645$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 36

$$x-36y=756$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 20

$$20x-y=320$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x-36y=756,20x-y=320$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-36y=756$$

เพิ่ม 36y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=36y+756$$

ทดแทน 756+36y สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 20x-y=320

$$20\left(36y+756\right)-y=320$$

คูณ 20 ด้วย 756+36y

$$720y+15120-y=320$$

เพิ่ม 720y ไปยัง -y

$$719y+15120=320$$

ลบ 15120 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$719y=-14800$$

หารทั้งสองข้างด้วย 719

$$y=-\frac{14800}{719}$$

ทดแทน -\frac{14800}{719} สำหรับ y ใน x=36y+756 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=36\left(-\frac{14800}{719}\right)+756$$

คูณ 36 ด้วย -\frac{14800}{719}

$$x=-\frac{532800}{719}+756$$

เพิ่ม 756 ไปยัง -\frac{532800}{719}

$$x=\frac{10764}{719}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 36

$$x-36y=756$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 20

$$20x-y=320$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x-36y=756,20x-y=320$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}&-\frac{-36}{-1-\left(-36\times 20\right)}\\-\frac{20}{-1-\left(-36\times 20\right)}&\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}&\frac{36}{719}\\-\frac{20}{719}&\frac{1}{719}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}\times 756+\frac{36}{719}\times 320\\-\frac{20}{719}\times 756+\frac{1}{719}\times 320\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10764}{719}\\-\frac{14800}{719}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 36

$$x-36y=756$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 20

$$20x-y=320$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x-36y=756,20x-y=320$$

เพื่อทำให้ x และ 20x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 20 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$20x+20\left(-36\right)y=20\times 756,20x-y=320$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$20x-720y=15120,20x-y=320$$

ลบ 20x-y=320 จาก 20x-720y=15120 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$20x-20x-720y+y=15120-320$$

เพิ่ม 20x ไปยัง -20x ตัดพจน์ 20x และ -20x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-720y+y=15120-320$$

เพิ่ม -720y ไปยัง y

$$-719y=15120-320$$

เพิ่ม 15120 ไปยัง -320

$$-719y=14800$$

หารทั้งสองข้างด้วย -719

$$y=-\frac{14800}{719}$$

ทดแทน -\frac{14800}{719} สำหรับ y ใน 20x-y=320 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$20x-\left(-\frac{14800}{719}\right)=320$$

ลบ \frac{14800}{719} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$20x=\frac{215280}{719}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 20

$$x=\frac{10764}{719}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$