แก้โจทย์ {l}{x/3-y/2=8}{x/5+y/3=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 8 } \\ { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 3 } = 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=15$$

$$y=-6$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,2

$$2x-3y=48$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 15 ตัวคูณร่วมน้อยของ 5,3

$$3x+5y=15$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-3y=48$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=3y+48$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+48\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 48+3y

$$x=\frac{3}{2}y+24$$

ทดแทน \frac{3y}{2}+24 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+5y=15

$$3\left(\frac{3}{2}y+24\right)+5y=15$$

คูณ 3 ด้วย \frac{3y}{2}+24

$$\frac{9}{2}y+72+5y=15$$

เพิ่ม \frac{9y}{2} ไปยัง 5y

$$\frac{19}{2}y+72=15$$

ลบ 72 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{19}{2}y=-57$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{19}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-6$$

ทดแทน -6 สำหรับ y ใน x=\frac{3}{2}y+24 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{3}{2}\left(-6\right)+24$$

คูณ \frac{3}{2} ด้วย -6

$$x=-9+24$$

เพิ่ม 24 ไปยัง -9

$$x=15$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=15,y=-6$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,2

$$2x-3y=48$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 15 ตัวคูณร่วมน้อยของ 5,3

$$3x+5y=15$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 48+\frac{3}{19}\times 15\\-\frac{3}{19}\times 48+\frac{2}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-6\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=15,y=-6$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,2

$$2x-3y=48$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 15 ตัวคูณร่วมน้อยของ 5,3

$$3x+5y=15$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

เพื่อทำให้ 2x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 48,2\times 3x+2\times 5y=2\times 15$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x-9y=144,6x+10y=30$$

ลบ 6x+10y=30 จาก 6x-9y=144 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x-9y-10y=144-30$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-9y-10y=144-30$$

เพิ่ม -9y ไปยัง -10y

$$-19y=144-30$$

เพิ่ม 144 ไปยัง -30

$$-19y=114$$

หารทั้งสองข้างด้วย -19

$$y=-6$$

ทดแทน -6 สำหรับ y ใน 3x+5y=15 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x+5\left(-6\right)=15$$

คูณ 5 ด้วย -6

$$3x-30=15$$

เพิ่ม 30 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=45$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=15$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=15,y=-6$$