แก้โจทย์ {l}{x/3+y/5=7}{x/6-2y/5=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 7 } \\ { \frac { x } { 6 } - \frac { 2 y } { 5 } = - 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=12$$

$$y=15$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 15 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,5

$$5x+3y=105$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 30 ตัวคูณร่วมน้อยของ 6,5

$$5x-6\times 2y=-120$$

คูณ -6 และ 2 เพื่อรับ -12

$$5x-12y=-120$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x+3y=105$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-3y+105$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+105\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -3y+105

$$x=-\frac{3}{5}y+21$$

ทดแทน -\frac{3y}{5}+21 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x-12y=-120

$$5\left(-\frac{3}{5}y+21\right)-12y=-120$$

คูณ 5 ด้วย -\frac{3y}{5}+21

$$-3y+105-12y=-120$$

เพิ่ม -3y ไปยัง -12y

$$-15y+105=-120$$

ลบ 105 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-15y=-225$$

หารทั้งสองข้างด้วย -15

$$y=15$$

ทดแทน 15 สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{5}y+21 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{5}\times 15+21$$

คูณ -\frac{3}{5} ด้วย 15

$$x=-9+21$$

เพิ่ม 21 ไปยัง -9

$$x=12$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=12,y=15$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 15 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,5

$$5x+3y=105$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 30 ตัวคูณร่วมน้อยของ 6,5

$$5x-6\times 2y=-120$$

คูณ -6 และ 2 เพื่อรับ -12

$$5x-12y=-120$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{5\left(-12\right)-3\times 5}&-\frac{3}{5\left(-12\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}&\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 105+\frac{1}{25}\left(-120\right)\\\frac{1}{15}\times 105-\frac{1}{15}\left(-120\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=12,y=15$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 15 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,5

$$5x+3y=105$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 30 ตัวคูณร่วมน้อยของ 6,5

$$5x-6\times 2y=-120$$

คูณ -6 และ 2 เพื่อรับ -12

$$5x-12y=-120$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

ลบ 5x-12y=-120 จาก 5x+3y=105 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-5x+3y+12y=105+120$$

เพิ่ม 5x ไปยัง -5x ตัดพจน์ 5x และ -5x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3y+12y=105+120$$

เพิ่ม 3y ไปยัง 12y

$$15y=105+120$$

เพิ่ม 105 ไปยัง 120

$$15y=225$$

หารทั้งสองข้างด้วย 15

$$y=15$$

ทดแทน 15 สำหรับ y ใน 5x-12y=-120 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x-12\times 15=-120$$

คูณ -12 ด้วย 15

$$5x-180=-120$$

เพิ่ม 180 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=60$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=12$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=12,y=15$$