แก้โจทย์ {l}{x^2/9+y^2/4=1}{3x+4y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{63}{29}\approx 2.172413793\text{, }y=-\frac{40}{29}\approx -1.379310345$$

$$x=-\frac{9}{5}=-1.8\text{, }y=\frac{8}{5}=1.6$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทนค่าและสูตรสองชั้น

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 36 ตัวคูณร่วมน้อยของ 9,4

$$4x^{2}+9y^{2}=36$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+4y=1,9y^{2}+4x^{2}=36$$

หาค่า 3x+4y=1 สำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+4y=1$$

ลบ 4y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-4y+1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

ทดแทน -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 9y^{2}+4x^{2}=36

$$9y^{2}+4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)^{2}=36$$

ยกกำลังสอง -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}

$$9y^{2}+4\left(\frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)=36$$

คูณ 4 ด้วย \frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}

$$9y^{2}+\frac{64}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

เพิ่ม 9y^{2} ไปยัง \frac{64}{9}y^{2}

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

ลบ 36 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y-\frac{320}{9}=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} แทน a, 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 แทน b และ -\frac{320}{9} แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{32}{9}\right)^{2}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

ยกกำลังสอง 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

คูณ -4 ด้วย 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-\frac{580}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

คูณ -\frac{580}{9} ครั้ง -\frac{320}{9} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024+185600}{81}}}{2\times \frac{145}{9}}$$

เพิ่ม \frac{1024}{81} ไปยัง \frac{185600}{81} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{2304}}{2\times \frac{145}{9}}$$

หารากที่สองของ 2304

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

ตรงข้ามกับ 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 คือ \frac{32}{9}

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

คูณ 2 ด้วย 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}}$$

ตอนนี้ แก้สมการ y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม \frac{32}{9} ไปยัง 48

$$y=\frac{\frac{464}{9}}{\frac{290}{9}}$$

หาร \frac{464}{9} ด้วย \frac{290}{9} โดยคูณ \frac{464}{9} ด้วยส่วนกลับของ \frac{290}{9}

$$y=\frac{8}{5}$$

ตอนนี้ แก้สมการ y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 48 จาก \frac{32}{9}

$$y=-\frac{\frac{400}{9}}{\frac{290}{9}}$$

หาร -\frac{400}{9} ด้วย \frac{290}{9} โดยคูณ -\frac{400}{9} ด้วยส่วนกลับของ \frac{290}{9}

$$y=-\frac{40}{29}$$

มีสองได้ผลเฉลยสำหรับ y:\frac{8}{5} และ -\frac{40}{29} ทดแทน \frac{8}{5} สำหรับ y ในสมการ x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} เพื่อหาวิธีแก้ไขที่สอดคล้องกันสำหรับ x ซึ่งเป็นไปตามสมการทั้งสอง

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{8}{5}+\frac{1}{3}$$

คูณ -\frac{4}{3} ครั้ง \frac{8}{5} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{32}{15}+\frac{1}{3}$$

เพิ่ม -\frac{4}{3}\times \frac{8}{5} ไปยัง \frac{1}{3}

$$x=-\frac{9}{5}$$

แทนค่า -\frac{40}{29} สำหรับ y ในสมการ x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} และหาค่าเพื่อหาผลเฉลยที่สอดคล้องกันสำหรับ x ซึ่งเป็นไปตามสมการทั้งสอง

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{40}{29}\right)+\frac{1}{3}$$

คูณ -\frac{4}{3} ครั้ง -\frac{40}{29} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{160}{87}+\frac{1}{3}$$

เพิ่ม -\frac{40}{29}\left(-\frac{4}{3}\right) ไปยัง \frac{1}{3}

$$x=\frac{63}{29}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{9}{5},y=\frac{8}{5}\text{ or }x=\frac{63}{29},y=-\frac{40}{29}$$