แก้โจทย์ {l}{x^2/4+y^2/2=1}{y=k(x-1)}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 } \\ { y = k ( x - 1 ) } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}-\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{2k^{2}+1}\text{, }y=-\frac{k\left(\sqrt{2\left(3k^{2}+2\right)}+1\right)}{2k^{2}+1}$$

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{2k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(\sqrt{2\left(3k^{2}+2\right)}-1\right)}{2k^{2}+1}$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทนค่าและสูตรสองชั้น

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 4 ตัวคูณร่วมน้อยของ 4,2

$$x^{2}+2y^{2}=4$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ k ด้วย x-1

$$y=kx-k$$

ทดแทน kx-k สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง x^{2}+2y^{2}=4

$$x^{2}+2\left(kx-k\right)^{2}=4$$

ยกกำลังสอง kx-k

$$x^{2}+2\left(k^{2}x^{2}+2\left(-k\right)kx+\left(-k\right)^{2}\right)=4$$

คูณ 2 ด้วย k^{2}x^{2}+2\left(-k\right)kx+\left(-k\right)^{2}

$$x^{2}+2k^{2}x^{2}+4\left(-k\right)kx+2\left(-k\right)^{2}=4$$

เพิ่ม x^{2} ไปยัง 2k^{2}x^{2}

$$\left(2k^{2}+1\right)x^{2}+4\left(-k\right)kx+2\left(-k\right)^{2}=4$$

ลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(2k^{2}+1\right)x^{2}+4\left(-k\right)kx+2\left(-k\right)^{2}-4=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1+2k^{2} แทน a, 2\times 2k\left(-k\right) แทน b และ 2k^{2}-4 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-4\left(-k\right)k±\sqrt{\left(4\left(-k\right)k\right)^{2}-4\left(2k^{2}+1\right)\left(2k^{2}-4\right)}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

ยกกำลังสอง 2\times 2k\left(-k\right)

$$x=\frac{-4\left(-k\right)k±\sqrt{16k^{4}-4\left(2k^{2}+1\right)\left(2k^{2}-4\right)}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

คูณ -4 ด้วย 1+2k^{2}

$$x=\frac{-4\left(-k\right)k±\sqrt{16k^{4}+\left(-8k^{2}-4\right)\left(2k^{2}-4\right)}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

คูณ -4-8k^{2} ด้วย 2k^{2}-4

$$x=\frac{-4\left(-k\right)k±\sqrt{16k^{4}+16+24k^{2}-16k^{4}}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

เพิ่ม 16k^{4} ไปยัง 16+24k^{2}-16k^{4}

$$x=\frac{-4\left(-k\right)k±\sqrt{24k^{2}+16}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

หารากที่สองของ 24k^{2}+16

$$x=\frac{-4\left(-k\right)k±2\sqrt{6k^{2}+4}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

คูณ 2 ด้วย 1+2k^{2}

$$x=\frac{4k^{2}±2\sqrt{6k^{2}+4}}{4k^{2}+2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{4k^{2}±2\sqrt{6k^{2}+4}}{4k^{2}+2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 4k^{2} ไปยัง 2\sqrt{6k^{2}+4}

$$x=\frac{4k^{2}+2\sqrt{6k^{2}+4}}{4k^{2}+2}$$

หาร 4k^{2}+2\sqrt{6k^{2}+4} ด้วย 2+4k^{2}

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{2k^{2}+1}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{4k^{2}±2\sqrt{6k^{2}+4}}{4k^{2}+2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 2\sqrt{6k^{2}+4} จาก 4k^{2}

$$x=\frac{4k^{2}-2\sqrt{6k^{2}+4}}{4k^{2}+2}$$

หาร 4k^{2}-2\sqrt{6k^{2}+4} ด้วย 2+4k^{2}

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}-\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{2k^{2}+1}$$

มีสองได้ผลเฉลยสำหรับ x:\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{1+2k^{2}} และ \frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}-\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{1+2k^{2}} ทดแทน \frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{1+2k^{2}} สำหรับ x ในสมการ y=kx-k เพื่อหาวิธีแก้ไขที่สอดคล้องกันสำหรับ y ซึ่งเป็นไปตามสมการทั้งสอง

$$y=k\times \frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{2k^{2}+1}-k$$

คูณ k ด้วย \frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{1+2k^{2}}

$$y=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{2k^{2}+1}k-k$$

แทนค่า \frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}-\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{1+2k^{2}} สำหรับ x ในสมการ y=kx-k และหาค่าเพื่อหาผลเฉลยที่สอดคล้องกันสำหรับ y ซึ่งเป็นไปตามสมการทั้งสอง

$$y=k\times \frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}-\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{2k^{2}+1}-k$$

คูณ k ด้วย \frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}-\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{1+2k^{2}}

$$y=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}-\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{2k^{2}+1}k-k$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{2k^{2}+1}k-k,x=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{2k^{2}+1}\text{ or }y=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}-\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{2k^{2}+1}k-k,x=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}-\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{2k^{2}+1}$$

หาค่า x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}-\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{2k^{2}+1}\text{, }y=-\frac{k\left(\sqrt{2\left(3k^{2}+2\right)}+1\right)}{2k^{2}+1}\text{; }x=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{3k^{2}+2}\right)}{2k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(\sqrt{2\left(3k^{2}+2\right)}-1\right)}{2k^{2}+1}\text{, }&k\neq -\frac{\sqrt{2}i}{2}\text{ and }k\neq \frac{\sqrt{2}i}{2}\\x=\frac{k^{2}-2}{2k^{2}}\text{, }y=\frac{-k^{2}-2}{2k}\text{, }&k=-\frac{\sqrt{2}i}{2}\text{ or }k=\frac{\sqrt{2}i}{2}\end{matrix}\right.$$