แก้โจทย์ {l}{x+2/2+y-5/5=x/4+1}{x+y=x-1/3+3}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { 2 } + \frac { y - 5 } { 5 } = \frac { x } { 4 } + 1 } \\ { x + y = \frac { x - 1 } { 3 } + 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=4$$

$$y=0$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 20 ตัวคูณร่วมน้อยของ 2,5,4

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 10 ด้วย x+2

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย y-5

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

ลบ 20 จาก 20 เพื่อรับ 0

$$10x+4y=5x+20$$

ลบ 5x จากทั้งสองด้าน

$$10x+4y-5x=20$$

รวม 10x และ -5x เพื่อให้ได้รับ 5x

$$5x+4y=20$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3

$$3x+3y=x-1+9$$

เพิ่ม -1 และ 9 เพื่อให้ได้รับ 8

$$3x+3y=x+8$$

ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$3x+3y-x=8$$

รวม 3x และ -x เพื่อให้ได้รับ 2x

$$2x+3y=8$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x+4y=20$$

ลบ 4y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-4y+20$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+20\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -4y+20

$$x=-\frac{4}{5}y+4$$

ทดแทน -\frac{4y}{5}+4 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+3y=8

$$2\left(-\frac{4}{5}y+4\right)+3y=8$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{4y}{5}+4

$$-\frac{8}{5}y+8+3y=8$$

เพิ่ม -\frac{8y}{5} ไปยัง 3y

$$\frac{7}{5}y+8=8$$

ลบ 8 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{7}{5}y=0$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{7}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ y ใน x=-\frac{4}{5}y+4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=0$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 20 ตัวคูณร่วมน้อยของ 2,5,4

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 10 ด้วย x+2

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย y-5

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

ลบ 20 จาก 20 เพื่อรับ 0

$$10x+4y=5x+20$$

ลบ 5x จากทั้งสองด้าน

$$10x+4y-5x=20$$

รวม 10x และ -5x เพื่อให้ได้รับ 5x

$$5x+4y=20$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3

$$3x+3y=x-1+9$$

เพิ่ม -1 และ 9 เพื่อให้ได้รับ 8

$$3x+3y=x+8$$

ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$3x+3y-x=8$$

รวม 3x และ -x เพื่อให้ได้รับ 2x

$$2x+3y=8$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{5\times 3-4\times 2}&\frac{5}{5\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 20-\frac{4}{7}\times 8\\-\frac{2}{7}\times 20+\frac{5}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=4,y=0$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 20 ตัวคูณร่วมน้อยของ 2,5,4

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 10 ด้วย x+2

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย y-5

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

ลบ 20 จาก 20 เพื่อรับ 0

$$10x+4y=5x+20$$

ลบ 5x จากทั้งสองด้าน

$$10x+4y-5x=20$$

รวม 10x และ -5x เพื่อให้ได้รับ 5x

$$5x+4y=20$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3

$$3x+3y=x-1+9$$

เพิ่ม -1 และ 9 เพื่อให้ได้รับ 8

$$3x+3y=x+8$$

ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$3x+3y-x=8$$

รวม 3x และ -x เพื่อให้ได้รับ 2x

$$2x+3y=8$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

เพื่อทำให้ 5x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$2\times 5x+2\times 4y=2\times 20,5\times 2x+5\times 3y=5\times 8$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$10x+8y=40,10x+15y=40$$

ลบ 10x+15y=40 จาก 10x+8y=40 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$10x-10x+8y-15y=40-40$$

เพิ่ม 10x ไปยัง -10x ตัดพจน์ 10x และ -10x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$8y-15y=40-40$$

เพิ่ม 8y ไปยัง -15y

$$-7y=40-40$$

เพิ่ม 40 ไปยัง -40

$$-7y=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$y=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ y ใน 2x+3y=8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x=8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=0$$