แก้โจทย์ {l}{x+1y-1/2+y-1/3=9}{x-1/3+y+1/2=8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 y - 1 } { 2 } + \frac { y - 1 } { 3 } = 9 } \\ { \frac { x - 1 } { 3 } + \frac { y + 1 } { 2 } = 8 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=58$$

$$y=-23$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 2,3

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+1y-1

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย y-1

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

รวม 3y และ 2y เพื่อให้ได้รับ 5y

$$3x+5y-3-2=54$$

ลบ 2 จาก -3 เพื่อรับ -5

$$3x+5y-5=54$$

เพิ่ม 5 ไปทั้งสองด้าน

$$3x+5y=54+5$$

เพิ่ม 54 และ 5 เพื่อให้ได้รับ 59

$$3x+5y=59$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,2

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-1

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย y+1

$$2x-2+3y+3=48$$

เพิ่ม -2 และ 3 เพื่อให้ได้รับ 1

$$2x+1+3y=48$$

ลบ 1 จากทั้งสองด้าน

$$2x+3y=48-1$$

ลบ 1 จาก 48 เพื่อรับ 47

$$2x+3y=47$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+5y=59$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-5y+59$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+59\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -5y+59

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}$$

ทดแทน \frac{-5y+59}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+3y=47

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}\right)+3y=47$$

คูณ 2 ด้วย \frac{-5y+59}{3}

$$-\frac{10}{3}y+\frac{118}{3}+3y=47$$

เพิ่ม -\frac{10y}{3} ไปยัง 3y

$$-\frac{1}{3}y+\frac{118}{3}=47$$

ลบ \frac{118}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{1}{3}y=\frac{23}{3}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=-23$$

ทดแทน -23 สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{3}\left(-23\right)+\frac{59}{3}$$

คูณ -\frac{5}{3} ด้วย -23

$$x=\frac{115+59}{3}$$

เพิ่ม \frac{59}{3} ไปยัง \frac{115}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=58$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=58,y=-23$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 2,3

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+1y-1

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย y-1

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

รวม 3y และ 2y เพื่อให้ได้รับ 5y

$$3x+5y-3-2=54$$

ลบ 2 จาก -3 เพื่อรับ -5

$$3x+5y-5=54$$

เพิ่ม 5 ไปทั้งสองด้าน

$$3x+5y=54+5$$

เพิ่ม 54 และ 5 เพื่อให้ได้รับ 59

$$3x+5y=59$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,2

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-1

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย y+1

$$2x-2+3y+3=48$$

เพิ่ม -2 และ 3 เพื่อให้ได้รับ 1

$$2x+1+3y=48$$

ลบ 1 จากทั้งสองด้าน

$$2x+3y=48-1$$

ลบ 1 จาก 48 เพื่อรับ 47

$$2x+3y=47$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 59+5\times 47\\2\times 59-3\times 47\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}58\\-23\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=58,y=-23$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 2,3

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+1y-1

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย y-1

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

รวม 3y และ 2y เพื่อให้ได้รับ 5y

$$3x+5y-3-2=54$$

ลบ 2 จาก -3 เพื่อรับ -5

$$3x+5y-5=54$$

เพิ่ม 5 ไปทั้งสองด้าน

$$3x+5y=54+5$$

เพิ่ม 54 และ 5 เพื่อให้ได้รับ 59

$$3x+5y=59$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,2

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-1

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย y+1

$$2x-2+3y+3=48$$

เพิ่ม -2 และ 3 เพื่อให้ได้รับ 1

$$2x+1+3y=48$$

ลบ 1 จากทั้งสองด้าน

$$2x+3y=48-1$$

ลบ 1 จาก 48 เพื่อรับ 47

$$2x+3y=47$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

เพื่อทำให้ 3x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 59,3\times 2x+3\times 3y=3\times 47$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x+10y=118,6x+9y=141$$

ลบ 6x+9y=141 จาก 6x+10y=118 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x+10y-9y=118-141$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$10y-9y=118-141$$

เพิ่ม 10y ไปยัง -9y

$$y=118-141$$

เพิ่ม 118 ไปยัง -141

$$y=-23$$

ทดแทน -23 สำหรับ y ใน 2x+3y=47 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+3\left(-23\right)=47$$

คูณ 3 ด้วย -23

$$2x-69=47$$

เพิ่ม 69 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=116$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=58$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=58,y=-23$$