แก้โจทย์ {l}{x+1/y+2=2/3}{x-2/y-1=1/3}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 } { y + 2 } = \frac { 2 } { 3 } } \\ { \frac { x - 2 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=3$$

$$y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับ -2 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3\left(y+2\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ y+2,3

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+1

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย y+2

$$3x+3=2y+4$$

ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$3x+3-2y=4$$

ลบ 3 จากทั้งสองด้าน

$$3x-2y=4-3$$

ลบ 3 จาก 4 เพื่อรับ 1

$$3x-2y=1$$

พิจารณาสมการที่สอง ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับ 1 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3\left(y-1\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ y-1,3

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x-2

$$3x-6=y-1$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$3x-6-y=-1$$

เพิ่ม 6 ไปทั้งสองด้าน

$$3x-y=-1+6$$

เพิ่ม -1 และ 6 เพื่อให้ได้รับ 5

$$3x-y=5$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-2y=1$$

เพิ่ม 2y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=2y+1$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 2y+1

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

ทดแทน \frac{2y+1}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x-y=5

$$3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-y=5$$

คูณ 3 ด้วย \frac{2y+1}{3}

$$2y+1-y=5$$

เพิ่ม 2y ไปยัง -y

$$y+1=5$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ y ใน x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{2}{3}\times 4+\frac{1}{3}$$

คูณ \frac{2}{3} ด้วย 4

$$x=\frac{8+1}{3}$$

เพิ่ม \frac{1}{3} ไปยัง \frac{8}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับ -2 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3\left(y+2\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ y+2,3

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+1

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย y+2

$$3x+3=2y+4$$

ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$3x+3-2y=4$$

ลบ 3 จากทั้งสองด้าน

$$3x-2y=4-3$$

ลบ 3 จาก 4 เพื่อรับ 1

$$3x-2y=1$$

พิจารณาสมการที่สอง ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับ 1 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3\left(y-1\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ y-1,3

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x-2

$$3x-6=y-1$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$3x-6-y=-1$$

เพิ่ม 6 ไปทั้งสองด้าน

$$3x-y=-1+6$$

เพิ่ม -1 และ 6 เพื่อให้ได้รับ 5

$$3x-y=5$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 5\\-1+5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=3,y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับ -2 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3\left(y+2\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ y+2,3

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+1

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย y+2

$$3x+3=2y+4$$

ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$3x+3-2y=4$$

ลบ 3 จากทั้งสองด้าน

$$3x-2y=4-3$$

ลบ 3 จาก 4 เพื่อรับ 1

$$3x-2y=1$$

พิจารณาสมการที่สอง ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับ 1 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3\left(y-1\right) ตัวคูณร่วมน้อยของ y-1,3

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x-2

$$3x-6=y-1$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$3x-6-y=-1$$

เพิ่ม 6 ไปทั้งสองด้าน

$$3x-y=-1+6$$

เพิ่ม -1 และ 6 เพื่อให้ได้รับ 5

$$3x-y=5$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

ลบ 3x-y=5 จาก 3x-2y=1 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-3x-2y+y=1-5$$

เพิ่ม 3x ไปยัง -3x ตัดพจน์ 3x และ -3x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-2y+y=1-5$$

เพิ่ม -2y ไปยัง y

$$-y=1-5$$

เพิ่ม 1 ไปยัง -5

$$-y=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ y ใน 3x-y=5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x-4=5$$

เพิ่ม 4 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=9$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=4$$