แก้โจทย์ {l}{9x+4y/3-5x-11/2=13-y}{13x-7y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 9 x + 4 y } { 3 } - \frac { 5 x - 11 } { 2 } = 13 - y } \\ { 13 x - 7 y = - 8 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,2

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย 9x+4y

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -3 ด้วย 5x-11

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

รวม 18x และ -15x เพื่อให้ได้รับ 3x

$$3x+8y+33=78-6y$$

เพิ่ม 6y ไปทั้งสองด้าน

$$3x+8y+33+6y=78$$

รวม 8y และ 6y เพื่อให้ได้รับ 14y

$$3x+14y+33=78$$

ลบ 33 จากทั้งสองด้าน

$$3x+14y=78-33$$

ลบ 33 จาก 78 เพื่อรับ 45

$$3x+14y=45$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+14y=45$$

ลบ 14y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-14y+45$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-14y+45\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -14y+45

$$x=-\frac{14}{3}y+15$$

ทดแทน -\frac{14y}{3}+15 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 13x-7y=-8

$$13\left(-\frac{14}{3}y+15\right)-7y=-8$$

คูณ 13 ด้วย -\frac{14y}{3}+15

$$-\frac{182}{3}y+195-7y=-8$$

เพิ่ม -\frac{182y}{3} ไปยัง -7y

$$-\frac{203}{3}y+195=-8$$

ลบ 195 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{203}{3}y=-203$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{203}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน x=-\frac{14}{3}y+15 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{14}{3}\times 3+15$$

คูณ -\frac{14}{3} ด้วย 3

$$x=-14+15$$

เพิ่ม 15 ไปยัง -14

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,2

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย 9x+4y

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -3 ด้วย 5x-11

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

รวม 18x และ -15x เพื่อให้ได้รับ 3x

$$3x+8y+33=78-6y$$

เพิ่ม 6y ไปทั้งสองด้าน

$$3x+8y+33+6y=78$$

รวม 8y และ 6y เพื่อให้ได้รับ 14y

$$3x+14y+33=78$$

ลบ 33 จากทั้งสองด้าน

$$3x+14y=78-33$$

ลบ 33 จาก 78 เพื่อรับ 45

$$3x+14y=45$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3\left(-7\right)-14\times 13}&-\frac{14}{3\left(-7\right)-14\times 13}\\-\frac{13}{3\left(-7\right)-14\times 13}&\frac{3}{3\left(-7\right)-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}&\frac{2}{29}\\\frac{13}{203}&-\frac{3}{203}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}\times 45+\frac{2}{29}\left(-8\right)\\\frac{13}{203}\times 45-\frac{3}{203}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1,y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,2

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย 9x+4y

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -3 ด้วย 5x-11

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

รวม 18x และ -15x เพื่อให้ได้รับ 3x

$$3x+8y+33=78-6y$$

เพิ่ม 6y ไปทั้งสองด้าน

$$3x+8y+33+6y=78$$

รวม 8y และ 6y เพื่อให้ได้รับ 14y

$$3x+14y+33=78$$

ลบ 33 จากทั้งสองด้าน

$$3x+14y=78-33$$

ลบ 33 จาก 78 เพื่อรับ 45

$$3x+14y=45$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

เพื่อทำให้ 3x และ 13x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 13 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$13\times 3x+13\times 14y=13\times 45,3\times 13x+3\left(-7\right)y=3\left(-8\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$39x+182y=585,39x-21y=-24$$

ลบ 39x-21y=-24 จาก 39x+182y=585 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$39x-39x+182y+21y=585+24$$

เพิ่ม 39x ไปยัง -39x ตัดพจน์ 39x และ -39x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$182y+21y=585+24$$

เพิ่ม 182y ไปยัง 21y

$$203y=585+24$$

เพิ่ม 585 ไปยัง 24

$$203y=609$$

หารทั้งสองข้างด้วย 203

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน 13x-7y=-8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$13x-7\times 3=-8$$

คูณ -7 ด้วย 3

$$13x-21=-8$$

เพิ่ม 21 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$13x=13$$

หารทั้งสองข้างด้วย 13

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=3$$