แก้โจทย์ {l}{5/4x-2/3y=3}{1/4x+5/3y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 5 } { 4 } x - \frac { 2 } { 3 } y = 3 } \\ { \frac { 1 } { 4 } x + \frac { 5 } { 3 } y = 6 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=4$$

$$y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$\frac{5}{4}x-\frac{2}{3}y=3,\frac{1}{4}x+\frac{5}{3}y=6$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{5}{4}x-\frac{2}{3}y=3$$

เพิ่ม \frac{2y}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{5}{4}x=\frac{2}{3}y+3$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{5}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=\frac{4}{5}\left(\frac{2}{3}y+3\right)$$

คูณ \frac{4}{5} ด้วย \frac{2y}{3}+3

$$x=\frac{8}{15}y+\frac{12}{5}$$

ทดแทน \frac{8y}{15}+\frac{12}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \frac{1}{4}x+\frac{5}{3}y=6

$$\frac{1}{4}\left(\frac{8}{15}y+\frac{12}{5}\right)+\frac{5}{3}y=6$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย \frac{8y}{15}+\frac{12}{5}

$$\frac{2}{15}y+\frac{3}{5}+\frac{5}{3}y=6$$

เพิ่ม \frac{2y}{15} ไปยัง \frac{5y}{3}

$$\frac{9}{5}y+\frac{3}{5}=6$$

ลบ \frac{3}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{9}{5}y=\frac{27}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{9}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน x=\frac{8}{15}y+\frac{12}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{8}{15}\times 3+\frac{12}{5}$$

คูณ \frac{8}{15} ด้วย 3

$$x=\frac{8+12}{5}$$

เพิ่ม \frac{12}{5} ไปยัง \frac{8}{5} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$\frac{5}{4}x-\frac{2}{3}y=3,\frac{1}{4}x+\frac{5}{3}y=6$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{4}\times \frac{5}{3}-\left(-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}\right)}&-\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{5}{4}\times \frac{5}{3}-\left(-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}\right)}\\-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{4}\times \frac{5}{3}-\left(-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}\right)}&\frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{4}\times \frac{5}{3}-\left(-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{27}&\frac{8}{27}\\-\frac{1}{9}&\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{27}\times 3+\frac{8}{27}\times 6\\-\frac{1}{9}\times 3+\frac{5}{9}\times 6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=4,y=3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$\frac{5}{4}x-\frac{2}{3}y=3,\frac{1}{4}x+\frac{5}{3}y=6$$

เพื่อทำให้ \frac{5x}{4} และ \frac{x}{4} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย \frac{1}{4} และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย \frac{5}{4}

$$\frac{1}{4}\times \frac{5}{4}x+\frac{1}{4}\left(-\frac{2}{3}\right)y=\frac{1}{4}\times 3,\frac{5}{4}\times \frac{1}{4}x+\frac{5}{4}\times \frac{5}{3}y=\frac{5}{4}\times 6$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{5}{16}x-\frac{1}{6}y=\frac{3}{4},\frac{5}{16}x+\frac{25}{12}y=\frac{15}{2}$$

ลบ \frac{5}{16}x+\frac{25}{12}y=\frac{15}{2} จาก \frac{5}{16}x-\frac{1}{6}y=\frac{3}{4} โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{5}{16}x-\frac{5}{16}x-\frac{1}{6}y-\frac{25}{12}y=\frac{3}{4}-\frac{15}{2}$$

เพิ่ม \frac{5x}{16} ไปยัง -\frac{5x}{16} ตัดพจน์ \frac{5x}{16} และ -\frac{5x}{16} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-\frac{1}{6}y-\frac{25}{12}y=\frac{3}{4}-\frac{15}{2}$$

เพิ่ม -\frac{y}{6} ไปยัง -\frac{25y}{12}

$$-\frac{9}{4}y=\frac{3}{4}-\frac{15}{2}$$

เพิ่ม \frac{3}{4} ไปยัง -\frac{15}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$-\frac{9}{4}y=-\frac{27}{4}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{9}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ y ใน \frac{1}{4}x+\frac{5}{3}y=6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$\frac{1}{4}x+\frac{5}{3}\times 3=6$$

คูณ \frac{5}{3} ด้วย 3

$$\frac{1}{4}x+5=6$$

ลบ 5 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{4}x=1$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=3$$