แก้โจทย์ {l}{4x-3y/2-3y-2x/3=y+1}{5x-3y/3-2y-3x/5=x+7}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 4 x - 3 y } { 2 } - \frac { 3 y - 2 x } { 3 } = y + 1 } \\ { \frac { 5 x - 3 y } { 3 } - \frac { 2 y - 3 x } { 5 } = x + 7 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=33$$

$$y = \frac{174}{7} = 24\frac{6}{7} \approx 24.857142857$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 2,3

$$3\left(4x-3y\right)-2\left(3y-2x\right)=6y+6$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 4x-3y

$$12x-9y-2\left(3y-2x\right)=6y+6$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -2 ด้วย 3y-2x

$$12x-9y-6y+4x=6y+6$$

รวม -9y และ -6y เพื่อให้ได้รับ -15y

$$12x-15y+4x=6y+6$$

รวม 12x และ 4x เพื่อให้ได้รับ 16x

$$16x-15y=6y+6$$

ลบ 6y จากทั้งสองด้าน

$$16x-15y-6y=6$$

รวม -15y และ -6y เพื่อให้ได้รับ -21y

$$16x-21y=6$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 15 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,5

$$5\left(5x-3y\right)-3\left(2y-3x\right)=15x+105$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 5 ด้วย 5x-3y

$$25x-15y-3\left(2y-3x\right)=15x+105$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -3 ด้วย 2y-3x

$$25x-15y-6y+9x=15x+105$$

รวม -15y และ -6y เพื่อให้ได้รับ -21y

$$25x-21y+9x=15x+105$$

รวม 25x และ 9x เพื่อให้ได้รับ 34x

$$34x-21y=15x+105$$

ลบ 15x จากทั้งสองด้าน

$$34x-21y-15x=105$$

รวม 34x และ -15x เพื่อให้ได้รับ 19x

$$19x-21y=105$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$16x-21y=6,19x-21y=105$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$16x-21y=6$$

เพิ่ม 21y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$16x=21y+6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 16

$$x=\frac{1}{16}\left(21y+6\right)$$

คูณ \frac{1}{16} ด้วย 21y+6

$$x=\frac{21}{16}y+\frac{3}{8}$$

ทดแทน \frac{21y}{16}+\frac{3}{8} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 19x-21y=105

$$19\left(\frac{21}{16}y+\frac{3}{8}\right)-21y=105$$

คูณ 19 ด้วย \frac{21y}{16}+\frac{3}{8}

$$\frac{399}{16}y+\frac{57}{8}-21y=105$$

เพิ่ม \frac{399y}{16} ไปยัง -21y

$$\frac{63}{16}y+\frac{57}{8}=105$$

ลบ \frac{57}{8} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{63}{16}y=\frac{783}{8}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{63}{16} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{174}{7}$$

ทดแทน \frac{174}{7} สำหรับ y ใน x=\frac{21}{16}y+\frac{3}{8} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{21}{16}\times \frac{174}{7}+\frac{3}{8}$$

คูณ \frac{21}{16} ครั้ง \frac{174}{7} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{261+3}{8}$$

เพิ่ม \frac{3}{8} ไปยัง \frac{261}{8} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=33$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=33,y=\frac{174}{7}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 2,3

$$3\left(4x-3y\right)-2\left(3y-2x\right)=6y+6$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 4x-3y

$$12x-9y-2\left(3y-2x\right)=6y+6$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -2 ด้วย 3y-2x

$$12x-9y-6y+4x=6y+6$$

รวม -9y และ -6y เพื่อให้ได้รับ -15y

$$12x-15y+4x=6y+6$$

รวม 12x และ 4x เพื่อให้ได้รับ 16x

$$16x-15y=6y+6$$

ลบ 6y จากทั้งสองด้าน

$$16x-15y-6y=6$$

รวม -15y และ -6y เพื่อให้ได้รับ -21y

$$16x-21y=6$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 15 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,5

$$5\left(5x-3y\right)-3\left(2y-3x\right)=15x+105$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 5 ด้วย 5x-3y

$$25x-15y-3\left(2y-3x\right)=15x+105$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -3 ด้วย 2y-3x

$$25x-15y-6y+9x=15x+105$$

รวม -15y และ -6y เพื่อให้ได้รับ -21y

$$25x-21y+9x=15x+105$$

รวม 25x และ 9x เพื่อให้ได้รับ 34x

$$34x-21y=15x+105$$

ลบ 15x จากทั้งสองด้าน

$$34x-21y-15x=105$$

รวม 34x และ -15x เพื่อให้ได้รับ 19x

$$19x-21y=105$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$16x-21y=6,19x-21y=105$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}16&-21\\19&-21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\105\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}16&-21\\19&-21\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&-21\\19&-21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&-21\\19&-21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-21\\19&-21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\105\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-21\\19&-21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\105\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-21\\19&-21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\105\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{21}{16\left(-21\right)-\left(-21\times 19\right)}&-\frac{-21}{16\left(-21\right)-\left(-21\times 19\right)}\\-\frac{19}{16\left(-21\right)-\left(-21\times 19\right)}&\frac{16}{16\left(-21\right)-\left(-21\times 19\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\105\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{19}{63}&\frac{16}{63}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\105\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 6+\frac{1}{3}\times 105\\-\frac{19}{63}\times 6+\frac{16}{63}\times 105\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}33\\\frac{174}{7}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=33,y=\frac{174}{7}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 2,3

$$3\left(4x-3y\right)-2\left(3y-2x\right)=6y+6$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 4x-3y

$$12x-9y-2\left(3y-2x\right)=6y+6$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -2 ด้วย 3y-2x

$$12x-9y-6y+4x=6y+6$$

รวม -9y และ -6y เพื่อให้ได้รับ -15y

$$12x-15y+4x=6y+6$$

รวม 12x และ 4x เพื่อให้ได้รับ 16x

$$16x-15y=6y+6$$

ลบ 6y จากทั้งสองด้าน

$$16x-15y-6y=6$$

รวม -15y และ -6y เพื่อให้ได้รับ -21y

$$16x-21y=6$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 15 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,5

$$5\left(5x-3y\right)-3\left(2y-3x\right)=15x+105$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 5 ด้วย 5x-3y

$$25x-15y-3\left(2y-3x\right)=15x+105$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -3 ด้วย 2y-3x

$$25x-15y-6y+9x=15x+105$$

รวม -15y และ -6y เพื่อให้ได้รับ -21y

$$25x-21y+9x=15x+105$$

รวม 25x และ 9x เพื่อให้ได้รับ 34x

$$34x-21y=15x+105$$

ลบ 15x จากทั้งสองด้าน

$$34x-21y-15x=105$$

รวม 34x และ -15x เพื่อให้ได้รับ 19x

$$19x-21y=105$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$16x-21y=6,19x-21y=105$$

ลบ 19x-21y=105 จาก 16x-21y=6 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$16x-19x-21y+21y=6-105$$

เพิ่ม -21y ไปยัง 21y ตัดพจน์ -21y และ 21y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$16x-19x=6-105$$

เพิ่ม 16x ไปยัง -19x

$$-3x=6-105$$

เพิ่ม 6 ไปยัง -105

$$-3x=-99$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$x=33$$

ทดแทน 33 สำหรับ x ใน 19x-21y=105 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$19\times 33-21y=105$$

คูณ 19 ด้วย 33

$$627-21y=105$$

ลบ 627 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-21y=-522$$

หารทั้งสองข้างด้วย -21

$$y=\frac{174}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=33,y=\frac{174}{7}$$