แก้โจทย์ {l}{2/3A+B=400}{A+4/5B=460}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } A + B = 400 } \\ { A + \frac { 4 } { 5 } B = 460 } \end{array} \right.$$

หาค่า A, B

$$A=300$$

$$B=200$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ A โดยแยก A ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{2}{3}A+B=400$$

ลบ B จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{2}{3}A=-B+400$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{2}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$A=\frac{3}{2}\left(-B+400\right)$$

คูณ \frac{3}{2} ด้วย -B+400

$$A=-\frac{3}{2}B+600$$

ทดแทน -\frac{3B}{2}+600 สำหรับ A ในอีกสมการหนึ่ง A+\frac{4}{5}B=460

$$-\frac{3}{2}B+600+\frac{4}{5}B=460$$

เพิ่ม -\frac{3B}{2} ไปยัง \frac{4B}{5}

$$-\frac{7}{10}B+600=460$$

ลบ 600 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{7}{10}B=-140$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{7}{10} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$B=200$$

ทดแทน 200 สำหรับ B ใน A=-\frac{3}{2}B+600 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า A โดยตรงได้

$$A=-\frac{3}{2}\times 200+600$$

คูณ -\frac{3}{2} ด้วย 200

$$A=-300+600$$

เพิ่ม 600 ไปยัง -300

$$A=300$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$A=300,B=200$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}&-\frac{1}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{7}&\frac{15}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{10}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{7}\times 400+\frac{15}{7}\times 460\\\frac{15}{7}\times 400-\frac{10}{7}\times 460\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\200\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ A และ B

$$A=300,B=200$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

เพื่อทำให้ \frac{2A}{3} และ A เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย \frac{2}{3}

$$\frac{2}{3}A+B=400,\frac{2}{3}A+\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}B=\frac{2}{3}\times 460$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{2}{3}A+B=400,\frac{2}{3}A+\frac{8}{15}B=\frac{920}{3}$$

ลบ \frac{2}{3}A+\frac{8}{15}B=\frac{920}{3} จาก \frac{2}{3}A+B=400 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{2}{3}A-\frac{2}{3}A+B-\frac{8}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

เพิ่ม \frac{2A}{3} ไปยัง -\frac{2A}{3} ตัดพจน์ \frac{2A}{3} และ -\frac{2A}{3} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$B-\frac{8}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

เพิ่ม B ไปยัง -\frac{8B}{15}

$$\frac{7}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

เพิ่ม 400 ไปยัง -\frac{920}{3}

$$\frac{7}{15}B=\frac{280}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{7}{15} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$B=200$$

ทดแทน 200 สำหรับ B ใน A+\frac{4}{5}B=460 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า A โดยตรงได้

$$A+\frac{4}{5}\times 200=460$$

คูณ \frac{4}{5} ด้วย 200

$$A+160=460$$

ลบ 160 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$A=300$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$A=300,B=200$$