แก้โจทย์ {l}{108/100x+90y/100=1008}{110/100x+98/100y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 108 } { 100 } x + \frac { 90 y } { 100 } = 1008 } \\ { \frac { 110 } { 100 } x + \frac { 98 } { 100 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{17400}{19} = 915\frac{15}{19} \approx 915.789473684$$

$$y = \frac{400}{19} = 21\frac{1}{19} \approx 21.052631579$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 100

$$108x+90y=100800$$

พิจารณาสมการที่สอง ทำเศษส่วน \frac{110}{100} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 10

$$\frac{11}{10}x+\frac{98}{100}y=1028$$

ทำเศษส่วน \frac{98}{100} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$\frac{11}{10}x+\frac{49}{50}y=1028$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$108x+90y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{49}{50}y=1028$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$108x+90y=100800$$

ลบ 90y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$108x=-90y+100800$$

หารทั้งสองข้างด้วย 108

$$x=\frac{1}{108}\left(-90y+100800\right)$$

คูณ \frac{1}{108} ด้วย -90y+100800

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

ทดแทน -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \frac{11}{10}x+\frac{49}{50}y=1028

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{49}{50}y=1028$$

คูณ \frac{11}{10} ด้วย -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}

$$-\frac{11}{12}y+\frac{3080}{3}+\frac{49}{50}y=1028$$

เพิ่ม -\frac{11y}{12} ไปยัง \frac{49y}{50}

$$\frac{19}{300}y+\frac{3080}{3}=1028$$

ลบ \frac{3080}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{19}{300}y=\frac{4}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{19}{300} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{400}{19}$$

ทดแทน \frac{400}{19} สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{6}\times \frac{400}{19}+\frac{2800}{3}$$

คูณ -\frac{5}{6} ครั้ง \frac{400}{19} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{1000}{57}+\frac{2800}{3}$$

เพิ่ม \frac{2800}{3} ไปยัง -\frac{1000}{57} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{17400}{19}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{17400}{19},y=\frac{400}{19}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 100

$$108x+90y=100800$$

พิจารณาสมการที่สอง ทำเศษส่วน \frac{110}{100} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 10

$$\frac{11}{10}x+\frac{98}{100}y=1028$$

ทำเศษส่วน \frac{98}{100} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$\frac{11}{10}x+\frac{49}{50}y=1028$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$108x+90y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{49}{50}y=1028$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}108&90\\\frac{11}{10}&\frac{49}{50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}108&90\\\frac{11}{10}&\frac{49}{50}\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}108&90\\\frac{11}{10}&\frac{49}{50}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}108&90\\\frac{11}{10}&\frac{49}{50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&90\\\frac{11}{10}&\frac{49}{50}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&90\\\frac{11}{10}&\frac{49}{50}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&90\\\frac{11}{10}&\frac{49}{50}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{49}{50}}{108\times \frac{49}{50}-90\times \frac{11}{10}}&-\frac{90}{108\times \frac{49}{50}-90\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{108\times \frac{49}{50}-90\times \frac{11}{10}}&\frac{108}{108\times \frac{49}{50}-90\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{342}&-\frac{250}{19}\\-\frac{55}{342}&\frac{300}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{342}\times 100800-\frac{250}{19}\times 1028\\-\frac{55}{342}\times 100800+\frac{300}{19}\times 1028\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17400}{19}\\\frac{400}{19}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{17400}{19},y=\frac{400}{19}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 100

$$108x+90y=100800$$

พิจารณาสมการที่สอง ทำเศษส่วน \frac{110}{100} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 10

$$\frac{11}{10}x+\frac{98}{100}y=1028$$

ทำเศษส่วน \frac{98}{100} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$\frac{11}{10}x+\frac{49}{50}y=1028$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$108x+90y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{49}{50}y=1028$$

เพื่อทำให้ 108x และ \frac{11x}{10} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย \frac{11}{10} และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 108

$$\frac{11}{10}\times 108x+\frac{11}{10}\times 90y=\frac{11}{10}\times 100800,108\times \frac{11}{10}x+108\times \frac{49}{50}y=108\times 1028$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{594}{5}x+99y=110880,\frac{594}{5}x+\frac{2646}{25}y=111024$$

ลบ \frac{594}{5}x+\frac{2646}{25}y=111024 จาก \frac{594}{5}x+99y=110880 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{594}{5}x-\frac{594}{5}x+99y-\frac{2646}{25}y=110880-111024$$

เพิ่ม \frac{594x}{5} ไปยัง -\frac{594x}{5} ตัดพจน์ \frac{594x}{5} และ -\frac{594x}{5} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$99y-\frac{2646}{25}y=110880-111024$$

เพิ่ม 99y ไปยัง -\frac{2646y}{25}

$$-\frac{171}{25}y=110880-111024$$

เพิ่ม 110880 ไปยัง -111024

$$-\frac{171}{25}y=-144$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{171}{25} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{400}{19}$$

ทดแทน \frac{400}{19} สำหรับ y ใน \frac{11}{10}x+\frac{49}{50}y=1028 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$\frac{11}{10}x+\frac{49}{50}\times \frac{400}{19}=1028$$

คูณ \frac{49}{50} ครั้ง \frac{400}{19} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$\frac{11}{10}x+\frac{392}{19}=1028$$

ลบ \frac{392}{19} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{11}{10}x=\frac{19140}{19}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{11}{10} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=\frac{17400}{19}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{17400}{19},y=\frac{400}{19}$$