แก้โจทย์ {l}{108/100x+110y/100=1008}{110/100x+108/100y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 108 } { 100 } x + \frac { 110 y } { 100 } = 1008 } \\ { \frac { 110 } { 100 } x + \frac { 108 } { 100 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{105400}{109} = 966\frac{106}{109} \approx 966.972477064$$

$$y = -\frac{3600}{109} = -33\frac{3}{109} \approx -33.027522936$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 100

$$108x+110y=100800$$

พิจารณาสมการที่สอง ทำเศษส่วน \frac{110}{100} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 10

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

ทำเศษส่วน \frac{108}{100} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 4

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$108x+110y=100800$$

ลบ 110y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$108x=-110y+100800$$

หารทั้งสองข้างด้วย 108

$$x=\frac{1}{108}\left(-110y+100800\right)$$

คูณ \frac{1}{108} ด้วย -110y+100800

$$x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}$$

ทดแทน -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{27}{25}y=1028$$

คูณ \frac{11}{10} ด้วย -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3}

$$-\frac{121}{108}y+\frac{3080}{3}+\frac{27}{25}y=1028$$

เพิ่ม -\frac{121y}{108} ไปยัง \frac{27y}{25}

$$-\frac{109}{2700}y+\frac{3080}{3}=1028$$

ลบ \frac{3080}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{109}{2700}y=\frac{4}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{109}{2700} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{3600}{109}$$

ทดแทน -\frac{3600}{109} สำหรับ y ใน x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{55}{54}\left(-\frac{3600}{109}\right)+\frac{2800}{3}$$

คูณ -\frac{55}{54} ครั้ง -\frac{3600}{109} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{11000}{327}+\frac{2800}{3}$$

เพิ่ม \frac{2800}{3} ไปยัง \frac{11000}{327} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{105400}{109}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 100

$$108x+110y=100800$$

พิจารณาสมการที่สอง ทำเศษส่วน \frac{110}{100} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 10

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

ทำเศษส่วน \frac{108}{100} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 4

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{27}{25}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&-\frac{110}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&\frac{108}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}&\frac{2750}{109}\\\frac{55}{218}&-\frac{2700}{109}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}\times 100800+\frac{2750}{109}\times 1028\\\frac{55}{218}\times 100800-\frac{2700}{109}\times 1028\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105400}{109}\\-\frac{3600}{109}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 100

$$108x+110y=100800$$

พิจารณาสมการที่สอง ทำเศษส่วน \frac{110}{100} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 10

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

ทำเศษส่วน \frac{108}{100} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 4

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

เพื่อทำให้ 108x และ \frac{11x}{10} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย \frac{11}{10} และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 108

$$\frac{11}{10}\times 108x+\frac{11}{10}\times 110y=\frac{11}{10}\times 100800,108\times \frac{11}{10}x+108\times \frac{27}{25}y=108\times 1028$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{594}{5}x+121y=110880,\frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024$$

ลบ \frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024 จาก \frac{594}{5}x+121y=110880 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{594}{5}x-\frac{594}{5}x+121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

เพิ่ม \frac{594x}{5} ไปยัง -\frac{594x}{5} ตัดพจน์ \frac{594x}{5} และ -\frac{594x}{5} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

เพิ่ม 121y ไปยัง -\frac{2916y}{25}

$$\frac{109}{25}y=110880-111024$$

เพิ่ม 110880 ไปยัง -111024

$$\frac{109}{25}y=-144$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{109}{25} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{3600}{109}$$

ทดแทน -\frac{3600}{109} สำหรับ y ใน \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}\left(-\frac{3600}{109}\right)=1028$$

คูณ \frac{27}{25} ครั้ง -\frac{3600}{109} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$\frac{11}{10}x-\frac{3888}{109}=1028$$

เพิ่ม \frac{3888}{109} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{11}{10}x=\frac{115940}{109}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{11}{10} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=\frac{105400}{109}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$