แก้โจทย์ {l}{1/4x+1/2y=-6}{-1/3x+1/6y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 4 } x + \frac { 1 } { 2 } y = - 6 } \\ { - \frac { 1 } { 3 } x + \frac { 1 } { 6 } y = 5 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{84}{5} = -16\frac{4}{5} = -16.8$$

$$y = -\frac{18}{5} = -3\frac{3}{5} = -3.6$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y=-6,-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}y=5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y=-6$$

ลบ \frac{y}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{4}x=-\frac{1}{2}y-6$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=4\left(-\frac{1}{2}y-6\right)$$

คูณ 4 ด้วย -\frac{y}{2}-6

$$x=-2y-24$$

ทดแทน -2y-24 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}y=5

$$-\frac{1}{3}\left(-2y-24\right)+\frac{1}{6}y=5$$

คูณ -\frac{1}{3} ด้วย -2y-24

$$\frac{2}{3}y+8+\frac{1}{6}y=5$$

เพิ่ม \frac{2y}{3} ไปยัง \frac{y}{6}

$$\frac{5}{6}y+8=5$$

ลบ 8 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{5}{6}y=-3$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{5}{6} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{18}{5}$$

ทดแทน -\frac{18}{5} สำหรับ y ใน x=-2y-24 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-2\left(-\frac{18}{5}\right)-24$$

คูณ -2 ด้วย -\frac{18}{5}

$$x=\frac{36}{5}-24$$

เพิ่ม -24 ไปยัง \frac{36}{5}

$$x=-\frac{84}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{84}{5},y=-\frac{18}{5}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y=-6,-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}y=5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{12}{5}\\\frac{8}{5}&\frac{6}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\left(-6\right)-\frac{12}{5}\times 5\\\frac{8}{5}\left(-6\right)+\frac{6}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{84}{5}\\-\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{84}{5},y=-\frac{18}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y=-6,-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}y=5$$

เพื่อทำให้ \frac{x}{4} และ -\frac{x}{3} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -\frac{1}{3} และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย \frac{1}{4}

$$-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}x-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}y=-\frac{1}{3}\left(-6\right),\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)x+\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}y=\frac{1}{4}\times 5$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-\frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=2,-\frac{1}{12}x+\frac{1}{24}y=\frac{5}{4}$$

ลบ -\frac{1}{12}x+\frac{1}{24}y=\frac{5}{4} จาก -\frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=2 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-\frac{1}{12}x+\frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y-\frac{1}{24}y=2-\frac{5}{4}$$

เพิ่ม -\frac{x}{12} ไปยัง \frac{x}{12} ตัดพจน์ -\frac{x}{12} และ \frac{x}{12} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-\frac{1}{6}y-\frac{1}{24}y=2-\frac{5}{4}$$

เพิ่ม -\frac{y}{6} ไปยัง -\frac{y}{24}

$$-\frac{5}{24}y=2-\frac{5}{4}$$

เพิ่ม 2 ไปยัง -\frac{5}{4}

$$-\frac{5}{24}y=\frac{3}{4}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{5}{24} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{18}{5}$$

ทดแทน -\frac{18}{5} สำหรับ y ใน -\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}y=5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}\left(-\frac{18}{5}\right)=5$$

คูณ \frac{1}{6} ครั้ง -\frac{18}{5} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$-\frac{1}{3}x-\frac{3}{5}=5$$

เพิ่ม \frac{3}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{1}{3}x=\frac{28}{5}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -3

$$x=-\frac{84}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{84}{5},y=-\frac{18}{5}$$