แก้โจทย์ {l}{1/2x-1+2y/12=2x-5y/3-7/4}{frac{1}{5}x+frac{2}{7}y=-frac{3}{35}}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 + 2 y } { 12 } = \frac { 2 x - 5 y } { 3 } - \frac { 7 } { 4 } } \\ { \frac { 1 } { 5 } x + \frac { 2 } { 7 } y = - \frac { 3 } { 35 } } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 2,12,3,4

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 1+2y ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย 2x-5y

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

ลบ 8x จากทั้งสองด้าน

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

รวม 6x และ -8x เพื่อให้ได้รับ -2x

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

เพิ่ม 20y ไปทั้งสองด้าน

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

รวม -2y และ 20y เพื่อให้ได้รับ 18y

$$-2x-1+18y=-21$$

เพิ่ม 1 ไปทั้งสองด้าน

$$-2x+18y=-21+1$$

เพิ่ม -21 และ 1 เพื่อให้ได้รับ -20

$$-2x+18y=-20$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2x+18y=-20$$

ลบ 18y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=-18y-20$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=-\frac{1}{2}\left(-18y-20\right)$$

คูณ -\frac{1}{2} ด้วย -18y-20

$$x=9y+10$$

ทดแทน 9y+10 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}

$$\frac{1}{5}\left(9y+10\right)+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย 9y+10

$$\frac{9}{5}y+2+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

เพิ่ม \frac{9y}{5} ไปยัง \frac{2y}{7}

$$\frac{73}{35}y+2=-\frac{3}{35}$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{73}{35}y=-\frac{73}{35}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{73}{35} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน x=9y+10 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=9\left(-1\right)+10$$

คูณ 9 ด้วย -1

$$x=-9+10$$

เพิ่ม 10 ไปยัง -9

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 2,12,3,4

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 1+2y ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย 2x-5y

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

ลบ 8x จากทั้งสองด้าน

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

รวม 6x และ -8x เพื่อให้ได้รับ -2x

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

เพิ่ม 20y ไปทั้งสองด้าน

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

รวม -2y และ 20y เพื่อให้ได้รับ 18y

$$-2x-1+18y=-21$$

เพิ่ม 1 ไปทั้งสองด้าน

$$-2x+18y=-21+1$$

เพิ่ม -21 และ 1 เพื่อให้ได้รับ -20

$$-2x+18y=-20$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{7}}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}&-\frac{18}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}\\-\frac{\frac{1}{5}}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}&-\frac{2}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{73}&\frac{315}{73}\\\frac{7}{146}&\frac{35}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{73}\left(-20\right)+\frac{315}{73}\left(-\frac{3}{35}\right)\\\frac{7}{146}\left(-20\right)+\frac{35}{73}\left(-\frac{3}{35}\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1,y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 2,12,3,4

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 1+2y ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย 2x-5y

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

ลบ 8x จากทั้งสองด้าน

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

รวม 6x และ -8x เพื่อให้ได้รับ -2x

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

เพิ่ม 20y ไปทั้งสองด้าน

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

รวม -2y และ 20y เพื่อให้ได้รับ 18y

$$-2x-1+18y=-21$$

เพิ่ม 1 ไปทั้งสองด้าน

$$-2x+18y=-21+1$$

เพิ่ม -21 และ 1 เพื่อให้ได้รับ -20

$$-2x+18y=-20$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

เพื่อทำให้ -2x และ \frac{x}{5} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย \frac{1}{5} และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -2

$$\frac{1}{5}\left(-2\right)x+\frac{1}{5}\times 18y=\frac{1}{5}\left(-20\right),-2\times \frac{1}{5}x-2\times \frac{2}{7}y=-2\left(-\frac{3}{35}\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y=-4,-\frac{2}{5}x-\frac{4}{7}y=\frac{6}{35}$$

ลบ -\frac{2}{5}x-\frac{4}{7}y=\frac{6}{35} จาก -\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y=-4 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y+\frac{4}{7}y=-4-\frac{6}{35}$$

เพิ่ม -\frac{2x}{5} ไปยัง \frac{2x}{5} ตัดพจน์ -\frac{2x}{5} และ \frac{2x}{5} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$\frac{18}{5}y+\frac{4}{7}y=-4-\frac{6}{35}$$

เพิ่ม \frac{18y}{5} ไปยัง \frac{4y}{7}

$$\frac{146}{35}y=-4-\frac{6}{35}$$

เพิ่ม -4 ไปยัง -\frac{6}{35}

$$\frac{146}{35}y=-\frac{146}{35}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{146}{35} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน \frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}\left(-1\right)=-\frac{3}{35}$$

คูณ \frac{2}{7} ด้วย -1

$$\frac{1}{5}x-\frac{2}{7}=-\frac{3}{35}$$

เพิ่ม \frac{2}{7} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{5}x=\frac{1}{5}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=-1$$