แก้โจทย์ {c}{y-3x+15=10}{6-4x=y}

$$\left. \begin{array} { c } { y - 3 x + 15 = 10 } \\ { 6 - 4 x = y } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$y=-\frac{2}{7}\approx -0.285714286$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 15 จากทั้งสองด้าน

$$y-3x=10-15$$

ลบ 15 จาก 10 เพื่อรับ -5

$$y-3x=-5$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$6-4x-y=0$$

ลบ 6 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$-4x-y=-6$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-3x=-5$$

เพิ่ม 3x ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=3x-5$$

ทดแทน 3x-5 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง -y-4x=-6

$$-\left(3x-5\right)-4x=-6$$

คูณ -1 ด้วย 3x-5

$$-3x+5-4x=-6$$

เพิ่ม -3x ไปยัง -4x

$$-7x+5=-6$$

ลบ 5 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-7x=-11$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$x=\frac{11}{7}$$

ทดแทน \frac{11}{7} สำหรับ x ใน y=3x-5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=3\times \frac{11}{7}-5$$

คูณ 3 ด้วย \frac{11}{7}

$$y=\frac{33}{7}-5$$

เพิ่ม -5 ไปยัง \frac{33}{7}

$$y=-\frac{2}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 15 จากทั้งสองด้าน

$$y-3x=10-15$$

ลบ 15 จาก 10 เพื่อรับ -5

$$y-3x=-5$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$6-4x-y=0$$

ลบ 6 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$-4x-y=-6$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\left(-5\right)-\frac{3}{7}\left(-6\right)\\-\frac{1}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\\\frac{11}{7}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 15 จากทั้งสองด้าน

$$y-3x=10-15$$

ลบ 15 จาก 10 เพื่อรับ -5

$$y-3x=-5$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$6-4x-y=0$$

ลบ 6 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$-4x-y=-6$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

เพื่อทำให้ y และ -y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-y-\left(-3x\right)=-\left(-5\right),-y-4x=-6$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-y+3x=5,-y-4x=-6$$

ลบ -y-4x=-6 จาก -y+3x=5 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-y+y+3x+4x=5+6$$

เพิ่ม -y ไปยัง y ตัดพจน์ -y และ y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3x+4x=5+6$$

เพิ่ม 3x ไปยัง 4x

$$7x=5+6$$

เพิ่ม 5 ไปยัง 6

$$7x=11$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=\frac{11}{7}$$

ทดแทน \frac{11}{7} สำหรับ x ใน -y-4x=-6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$-y-4\times \frac{11}{7}=-6$$

คูณ -4 ด้วย \frac{11}{7}

$$-y-\frac{44}{7}=-6$$

เพิ่ม \frac{44}{7} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-y=\frac{2}{7}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=-\frac{2}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$