แก้โจทย์ {c}{x=2(y-4)}{y+(x+5)=3}

$$\left. \begin{array} { c } { x = 2 ( y - 4 ) } \\ { y + ( x + 5 ) = 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-4$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย y-4

$$x=2y-8$$

ทดแทน -8+2y สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+y=-2

$$2y-8+y=-2$$

เพิ่ม 2y ไปยัง y

$$3y-8=-2$$

เพิ่ม 8 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3y=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=2y-8 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=2\times 2-8$$

คูณ 2 ด้วย 2

$$x=4-8$$

เพิ่ม -8 ไปยัง 4

$$x=-4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-4,y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย y-4

$$x=2y-8$$

ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$x-2y=-8$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 5 จากทั้งสองด้าน

$$y+x=3-5$$

ลบ 5 จาก 3 เพื่อรับ -2

$$y+x=-2$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x-2y=-8,x+y=-2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-8\right)+\frac{2}{3}\left(-2\right)\\-\frac{1}{3}\left(-8\right)+\frac{1}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-4,y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย y-4

$$x=2y-8$$

ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$x-2y=-8$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 5 จากทั้งสองด้าน

$$y+x=3-5$$

ลบ 5 จาก 3 เพื่อรับ -2

$$y+x=-2$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x-2y=-8,x+y=-2$$

ลบ x+y=-2 จาก x-2y=-8 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-x-2y-y=-8+2$$

เพิ่ม x ไปยัง -x ตัดพจน์ x และ -x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-2y-y=-8+2$$

เพิ่ม -2y ไปยัง -y

$$-3y=-8+2$$

เพิ่ม -8 ไปยัง 2

$$-3y=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x+y=-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x+2=-2$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-4,y=2$$