แก้โจทย์ {c}{x+y=89}{2x+y=23y}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 89 } \\ { 2 x + y = 23 y } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{979}{12} = 81\frac{7}{12} \approx 81.583333333$$

$$y = \frac{89}{12} = 7\frac{5}{12} \approx 7.416666667$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 23y จากทั้งสองด้าน

$$2x+y-23y=0$$

รวม y และ -23y เพื่อให้ได้รับ -22y

$$2x-22y=0$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=89,2x-22y=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=89$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+89$$

ทดแทน -y+89 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x-22y=0

$$2\left(-y+89\right)-22y=0$$

คูณ 2 ด้วย -y+89

$$-2y+178-22y=0$$

เพิ่ม -2y ไปยัง -22y

$$-24y+178=0$$

ลบ 178 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-24y=-178$$

หารทั้งสองข้างด้วย -24

$$y=\frac{89}{12}$$

ทดแทน \frac{89}{12} สำหรับ y ใน x=-y+89 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{89}{12}+89$$

เพิ่ม 89 ไปยัง -\frac{89}{12}

$$x=\frac{979}{12}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 23y จากทั้งสองด้าน

$$2x+y-23y=0$$

รวม y และ -23y เพื่อให้ได้รับ -22y

$$2x-22y=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=89,2x-22y=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{-22-2}&-\frac{1}{-22-2}\\-\frac{2}{-22-2}&\frac{1}{-22-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}\times 89\\\frac{1}{12}\times 89\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{979}{12}\\\frac{89}{12}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 23y จากทั้งสองด้าน

$$2x+y-23y=0$$

รวม y และ -23y เพื่อให้ได้รับ -22y

$$2x-22y=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=89,2x-22y=0$$

เพื่อทำให้ x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$2x+2y=2\times 89,2x-22y=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2x+2y=178,2x-22y=0$$

ลบ 2x-22y=0 จาก 2x+2y=178 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-2x+2y+22y=178$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -2x ตัดพจน์ 2x และ -2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2y+22y=178$$

เพิ่ม 2y ไปยัง 22y

$$24y=178$$

หารทั้งสองข้างด้วย 24

$$y=\frac{89}{12}$$

ทดแทน \frac{89}{12} สำหรับ y ใน 2x-22y=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-22\times \frac{89}{12}=0$$

คูณ -22 ด้วย \frac{89}{12}

$$2x-\frac{979}{6}=0$$

เพิ่ม \frac{979}{6} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=\frac{979}{6}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{979}{12}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$