แก้โจทย์ {c}{x+y=8a}{4x+8y=60}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 8 a } \\ { 4 x + 8 y = 60 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=16a-15$$

$$y=15-8a$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=8a,4x+8y=60$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=8a$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+8a$$

ทดแทน -y+8a สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x+8y=60

$$4\left(-y+8a\right)+8y=60$$

คูณ 4 ด้วย -y+8a

$$-4y+32a+8y=60$$

เพิ่ม -4y ไปยัง 8y

$$4y+32a=60$$

ลบ 32a จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4y=60-32a$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$y=15-8a$$

ทดแทน 15-8a สำหรับ y ใน x=-y+8a เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\left(15-8a\right)+8a$$

คูณ -1 ด้วย 15-8a

$$x=8a-15+8a$$

เพิ่ม 8a ไปยัง -15+8a

$$x=16a-15$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=16a-15,y=15-8a$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=8a,4x+8y=60$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-4}&-\frac{1}{8-4}\\-\frac{4}{8-4}&\frac{1}{8-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{4}\\-1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 8a-\frac{1}{4}\times 60\\-8a+\frac{1}{4}\times 60\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16a-15\\15-8a\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=16a-15,y=15-8a$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=8a,4x+8y=60$$

เพื่อทำให้ x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$4x+4y=4\times 8a,4x+8y=60$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$4x+4y=32a,4x+8y=60$$

ลบ 4x+8y=60 จาก 4x+4y=32a โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-4x+4y-8y=32a-60$$

เพิ่ม 4x ไปยัง -4x ตัดพจน์ 4x และ -4x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4y-8y=32a-60$$

เพิ่ม 4y ไปยัง -8y

$$-4y=32a-60$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$y=15-8a$$

ทดแทน 15-8a สำหรับ y ใน 4x+8y=60 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x+8\left(15-8a\right)=60$$

คูณ 8 ด้วย 15-8a

$$4x+120-64a=60$$

ลบ 120-64a จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=64a-60$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=16a-15$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=16a-15,y=15-8a$$