แก้โจทย์ {c}{x+y=64}{12x+26y=19}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 64 } \\ { 12 x + 26 y = 19 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{235}{2} = 117\frac{1}{2} = 117.5$$

$$y = -\frac{107}{2} = -53\frac{1}{2} = -53.5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=64,12x+26y=19$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=64$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+64$$

ทดแทน -y+64 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 12x+26y=19

$$12\left(-y+64\right)+26y=19$$

คูณ 12 ด้วย -y+64

$$-12y+768+26y=19$$

เพิ่ม -12y ไปยัง 26y

$$14y+768=19$$

ลบ 768 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$14y=-749$$

หารทั้งสองข้างด้วย 14

$$y=-\frac{107}{2}$$

ทดแทน -\frac{107}{2} สำหรับ y ใน x=-y+64 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\left(-\frac{107}{2}\right)+64$$

คูณ -1 ด้วย -\frac{107}{2}

$$x=\frac{107}{2}+64$$

เพิ่ม 64 ไปยัง \frac{107}{2}

$$x=\frac{235}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=64,12x+26y=19$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{26}{26-12}&-\frac{1}{26-12}\\-\frac{12}{26-12}&\frac{1}{26-12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{6}{7}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}\times 64-\frac{1}{14}\times 19\\-\frac{6}{7}\times 64+\frac{1}{14}\times 19\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{235}{2}\\-\frac{107}{2}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=64,12x+26y=19$$

เพื่อทำให้ x และ 12x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 12 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$12x+12y=12\times 64,12x+26y=19$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$12x+12y=768,12x+26y=19$$

ลบ 12x+26y=19 จาก 12x+12y=768 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$12x-12x+12y-26y=768-19$$

เพิ่ม 12x ไปยัง -12x ตัดพจน์ 12x และ -12x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$12y-26y=768-19$$

เพิ่ม 12y ไปยัง -26y

$$-14y=768-19$$

เพิ่ม 768 ไปยัง -19

$$-14y=749$$

หารทั้งสองข้างด้วย -14

$$y=-\frac{107}{2}$$

ทดแทน -\frac{107}{2} สำหรับ y ใน 12x+26y=19 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$12x+26\left(-\frac{107}{2}\right)=19$$

คูณ 26 ด้วย -\frac{107}{2}

$$12x-1391=19$$

เพิ่ม 1391 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$12x=1410$$

หารทั้งสองข้างด้วย 12

$$x=\frac{235}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$