แก้โจทย์ {c}{x+y=500}{50x+80y=28000}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 500 } \\ { 50 x + 80 y = 28000 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=400$$

$$y=100$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=500$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+500$$

ทดแทน -y+500 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 50x+80y=28000

$$50\left(-y+500\right)+80y=28000$$

คูณ 50 ด้วย -y+500

$$-50y+25000+80y=28000$$

เพิ่ม -50y ไปยัง 80y

$$30y+25000=28000$$

ลบ 25000 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$30y=3000$$

หารทั้งสองข้างด้วย 30

$$y=100$$

ทดแทน 100 สำหรับ y ใน x=-y+500 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-100+500$$

เพิ่ม 500 ไปยัง -100

$$x=400$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=400,y=100$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-50}&-\frac{1}{80-50}\\-\frac{50}{80-50}&\frac{1}{80-50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}&-\frac{1}{30}\\-\frac{5}{3}&\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\times 500-\frac{1}{30}\times 28000\\-\frac{5}{3}\times 500+\frac{1}{30}\times 28000\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\100\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=400,y=100$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

เพื่อทำให้ x และ 50x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 50 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$50x+50y=50\times 500,50x+80y=28000$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$50x+50y=25000,50x+80y=28000$$

ลบ 50x+80y=28000 จาก 50x+50y=25000 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$50x-50x+50y-80y=25000-28000$$

เพิ่ม 50x ไปยัง -50x ตัดพจน์ 50x และ -50x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$50y-80y=25000-28000$$

เพิ่ม 50y ไปยัง -80y

$$-30y=25000-28000$$

เพิ่ม 25000 ไปยัง -28000

$$-30y=-3000$$

หารทั้งสองข้างด้วย -30

$$y=100$$

ทดแทน 100 สำหรับ y ใน 50x+80y=28000 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$50x+80\times 100=28000$$

คูณ 80 ด้วย 100

$$50x+8000=28000$$

ลบ 8000 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$50x=20000$$

หารทั้งสองข้างด้วย 50

$$x=400$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=400,y=100$$