แก้โจทย์ {c}{x+y=50}{300x+200y=11500}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 50 } \\ { 300 x + 200 y = 11500 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=15$$

$$y=35$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=50$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+50$$

ทดแทน -y+50 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 300x+200y=11500

$$300\left(-y+50\right)+200y=11500$$

คูณ 300 ด้วย -y+50

$$-300y+15000+200y=11500$$

เพิ่ม -300y ไปยัง 200y

$$-100y+15000=11500$$

ลบ 15000 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-100y=-3500$$

หารทั้งสองข้างด้วย -100

$$y=35$$

ทดแทน 35 สำหรับ y ใน x=-y+50 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-35+50$$

เพิ่ม 50 ไปยัง -35

$$x=15$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=15,y=35$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200-300}&-\frac{1}{200-300}\\-\frac{300}{200-300}&\frac{1}{200-300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{1}{100}\\3&-\frac{1}{100}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 50+\frac{1}{100}\times 11500\\3\times 50-\frac{1}{100}\times 11500\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\35\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=15,y=35$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

เพื่อทำให้ x และ 300x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 300 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$300x+300y=300\times 50,300x+200y=11500$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$300x+300y=15000,300x+200y=11500$$

ลบ 300x+200y=11500 จาก 300x+300y=15000 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$300x-300x+300y-200y=15000-11500$$

เพิ่ม 300x ไปยัง -300x ตัดพจน์ 300x และ -300x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$300y-200y=15000-11500$$

เพิ่ม 300y ไปยัง -200y

$$100y=15000-11500$$

เพิ่ม 15000 ไปยัง -11500

$$100y=3500$$

หารทั้งสองข้างด้วย 100

$$y=35$$

ทดแทน 35 สำหรับ y ใน 300x+200y=11500 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$300x+200\times 35=11500$$

คูณ 200 ด้วย 35

$$300x+7000=11500$$

ลบ 7000 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$300x=4500$$

หารทั้งสองข้างด้วย 300

$$x=15$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=15,y=35$$