แก้โจทย์ {c}{x+y=3600}{4x+2y=11000}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 3600 } \\ { 4 x + 2 y = 11000 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1900$$

$$y=1700$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=3600,4x+2y=11000$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=3600$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+3600$$

ทดแทน -y+3600 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x+2y=11000

$$4\left(-y+3600\right)+2y=11000$$

คูณ 4 ด้วย -y+3600

$$-4y+14400+2y=11000$$

เพิ่ม -4y ไปยัง 2y

$$-2y+14400=11000$$

ลบ 14400 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2y=-3400$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$y=1700$$

ทดแทน 1700 สำหรับ y ใน x=-y+3600 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-1700+3600$$

เพิ่ม 3600 ไปยัง -1700

$$x=1900$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=1900,y=1700$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=3600,4x+2y=11000$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3600\\11000\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3600\\11000\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3600\\11000\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3600\\11000\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-4}&-\frac{1}{2-4}\\-\frac{4}{2-4}&\frac{1}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3600\\11000\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{2}\\2&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3600\\11000\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3600+\frac{1}{2}\times 11000\\2\times 3600-\frac{1}{2}\times 11000\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1900\\1700\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1900,y=1700$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=3600,4x+2y=11000$$

เพื่อทำให้ x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$4x+4y=4\times 3600,4x+2y=11000$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$4x+4y=14400,4x+2y=11000$$

ลบ 4x+2y=11000 จาก 4x+4y=14400 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-4x+4y-2y=14400-11000$$

เพิ่ม 4x ไปยัง -4x ตัดพจน์ 4x และ -4x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4y-2y=14400-11000$$

เพิ่ม 4y ไปยัง -2y

$$2y=14400-11000$$

เพิ่ม 14400 ไปยัง -11000

$$2y=3400$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=1700$$

ทดแทน 1700 สำหรับ y ใน 4x+2y=11000 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x+2\times 1700=11000$$

คูณ 2 ด้วย 1700

$$4x+3400=11000$$

ลบ 3400 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=7600$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=1900$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=1900,y=1700$$