แก้โจทย์ {c}{x+y=27}{.25x+.05y=3.35}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 27 } \\ { .25 x + .05 y = 3.35 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=10$$

$$y=17$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=27,0.25x+0.05y=3.35$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=27$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+27$$

ทดแทน -y+27 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 0.25x+0.05y=3.35

$$0.25\left(-y+27\right)+0.05y=3.35$$

คูณ 0.25 ด้วย -y+27

$$-0.25y+6.75+0.05y=3.35$$

เพิ่ม -\frac{y}{4} ไปยัง \frac{y}{20}

$$-0.2y+6.75=3.35$$

ลบ 6.75 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-0.2y=-3.4$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -5

$$y=17$$

ทดแทน 17 สำหรับ y ใน x=-y+27 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-17+27$$

เพิ่ม 27 ไปยัง -17

$$x=10$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=10,y=17$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=27,0.25x+0.05y=3.35$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.05}{0.05-0.25}&-\frac{1}{0.05-0.25}\\-\frac{0.25}{0.05-0.25}&\frac{1}{0.05-0.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25&5\\1.25&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\times 27+5\times 3.35\\1.25\times 27-5\times 3.35\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\17\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=10,y=17$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=27,0.25x+0.05y=3.35$$

เพื่อทำให้ x และ \frac{x}{4} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 0.25 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$0.25x+0.25y=0.25\times 27,0.25x+0.05y=3.35$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$0.25x+0.25y=6.75,0.25x+0.05y=3.35$$

ลบ 0.25x+0.05y=3.35 จาก 0.25x+0.25y=6.75 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.25x-0.25x+0.25y-0.05y=6.75-3.35$$

เพิ่ม \frac{x}{4} ไปยัง -\frac{x}{4} ตัดพจน์ \frac{x}{4} และ -\frac{x}{4} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$0.25y-0.05y=6.75-3.35$$

เพิ่ม \frac{y}{4} ไปยัง -\frac{y}{20}

$$0.2y=6.75-3.35$$

เพิ่ม 6.75 ไปยัง -3.35 ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$0.2y=3.4$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=17$$

ทดแทน 17 สำหรับ y ใน 0.25x+0.05y=3.35 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$0.25x+0.05\times 17=3.35$$

คูณ 0.05 ด้วย 17

$$0.25x+0.85=3.35$$

ลบ 0.85 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$0.25x=2.5$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=10$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=10,y=17$$