แก้โจทย์ {c}{x+y=21}{.25x+.05y=3.35}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 21 } \\ { .25 x + .05 y = 3.35 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=11.5$$

$$y=9.5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=21$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+21$$

ทดแทน -y+21 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 0.25x+0.05y=3.35

$$0.25\left(-y+21\right)+0.05y=3.35$$

คูณ 0.25 ด้วย -y+21

$$-0.25y+5.25+0.05y=3.35$$

เพิ่ม -\frac{y}{4} ไปยัง \frac{y}{20}

$$-0.2y+5.25=3.35$$

ลบ 5.25 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-0.2y=-1.9$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -5

$$y=9.5$$

ทดแทน 9.5 สำหรับ y ใน x=-y+21 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-9.5+21$$

เพิ่ม 21 ไปยัง -9.5

$$x=11.5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=11.5,y=9.5$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.05}{0.05-0.25}&-\frac{1}{0.05-0.25}\\-\frac{0.25}{0.05-0.25}&\frac{1}{0.05-0.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25&5\\1.25&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\times 21+5\times 3.35\\1.25\times 21-5\times 3.35\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11.5\\9.5\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=11.5,y=9.5$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

เพื่อทำให้ x และ \frac{x}{4} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 0.25 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$0.25x+0.25y=0.25\times 21,0.25x+0.05y=3.35$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$0.25x+0.25y=5.25,0.25x+0.05y=3.35$$

ลบ 0.25x+0.05y=3.35 จาก 0.25x+0.25y=5.25 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.25x-0.25x+0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

เพิ่ม \frac{x}{4} ไปยัง -\frac{x}{4} ตัดพจน์ \frac{x}{4} และ -\frac{x}{4} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

เพิ่ม \frac{y}{4} ไปยัง -\frac{y}{20}

$$0.2y=5.25-3.35$$

เพิ่ม 5.25 ไปยัง -3.35 ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$0.2y=1.9$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=9.5$$

ทดแทน 9.5 สำหรับ y ใน 0.25x+0.05y=3.35 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$0.25x+0.05\times 9.5=3.35$$

คูณ 0.05 ครั้ง 9.5 โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$0.25x+0.475=3.35$$

ลบ 0.475 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$0.25x=2.875$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=11.5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=11.5,y=9.5$$