แก้โจทย์ {c}{M+F=100}{2M+12F=2400}

$$\left. \begin{array} { c } { M + F = 100 } \\ { 2 M + 12 F = 2400 } \end{array} \right.$$

หาค่า M, F

$$M=-120$$

$$F=220$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$M+F=100,2M+12F=2400$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ M โดยแยก M ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$M+F=100$$

ลบ F จากทั้งสองข้างของสมการ

$$M=-F+100$$

ทดแทน -F+100 สำหรับ M ในอีกสมการหนึ่ง 2M+12F=2400

$$2\left(-F+100\right)+12F=2400$$

คูณ 2 ด้วย -F+100

$$-2F+200+12F=2400$$

เพิ่ม -2F ไปยัง 12F

$$10F+200=2400$$

ลบ 200 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$10F=2200$$

หารทั้งสองข้างด้วย 10

$$F=220$$

ทดแทน 220 สำหรับ F ใน M=-F+100 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า M โดยตรงได้

$$M=-220+100$$

เพิ่ม 100 ไปยัง -220

$$M=-120$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$M=-120,F=220$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$M+F=100,2M+12F=2400$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}M\\F\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\2400\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\2&12\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}M\\F\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\2400\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}M\\F\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\2400\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}M\\F\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\2400\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}M\\F\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{12-2}&-\frac{1}{12-2}\\-\frac{2}{12-2}&\frac{1}{12-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\2400\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}M\\F\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}&-\frac{1}{10}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\2400\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}M\\F\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\times 100-\frac{1}{10}\times 2400\\-\frac{1}{5}\times 100+\frac{1}{10}\times 2400\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}M\\F\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-120\\220\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ M และ F

$$M=-120,F=220$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$M+F=100,2M+12F=2400$$

เพื่อทำให้ M และ 2M เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$2M+2F=2\times 100,2M+12F=2400$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2M+2F=200,2M+12F=2400$$

ลบ 2M+12F=2400 จาก 2M+2F=200 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2M-2M+2F-12F=200-2400$$

เพิ่ม 2M ไปยัง -2M ตัดพจน์ 2M และ -2M ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$2F-12F=200-2400$$

เพิ่ม 2F ไปยัง -12F

$$-10F=200-2400$$

เพิ่ม 200 ไปยัง -2400

$$-10F=-2200$$

หารทั้งสองข้างด้วย -10

$$F=220$$

ทดแทน 220 สำหรับ F ใน 2M+12F=2400 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า M โดยตรงได้

$$2M+12\times 220=2400$$

คูณ 12 ด้วย 220

$$2M+2640=2400$$

ลบ 2640 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2M=-240$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$M=-120$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$M=-120,F=220$$