แก้โจทย์ {c}{7x+5y=54}{3x+4y=38}

$$\left. \begin{array} { c } { 7 x + 5 y = 54 } \\ { 3 x + 4 y = 38 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=2$$

$$y=8$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7x+5y=54$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=-5y+54$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+54\right)$$

คูณ \frac{1}{7} ด้วย -5y+54

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}$$

ทดแทน \frac{-5y+54}{7} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+4y=38

$$3\left(-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}\right)+4y=38$$

คูณ 3 ด้วย \frac{-5y+54}{7}

$$-\frac{15}{7}y+\frac{162}{7}+4y=38$$

เพิ่ม -\frac{15y}{7} ไปยัง 4y

$$\frac{13}{7}y+\frac{162}{7}=38$$

ลบ \frac{162}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{13}{7}y=\frac{104}{7}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{13}{7} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=8$$

ทดแทน 8 สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{7}\times 8+\frac{54}{7}$$

คูณ -\frac{5}{7} ด้วย 8

$$x=\frac{-40+54}{7}$$

เพิ่ม \frac{54}{7} ไปยัง -\frac{40}{7} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=8$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7\times 4-5\times 3}&-\frac{5}{7\times 4-5\times 3}\\-\frac{3}{7\times 4-5\times 3}&\frac{7}{7\times 4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&-\frac{5}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{7}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\times 54-\frac{5}{13}\times 38\\-\frac{3}{13}\times 54+\frac{7}{13}\times 38\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=2,y=8$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

เพื่อทำให้ 7x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 7

$$3\times 7x+3\times 5y=3\times 54,7\times 3x+7\times 4y=7\times 38$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$21x+15y=162,21x+28y=266$$

ลบ 21x+28y=266 จาก 21x+15y=162 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$21x-21x+15y-28y=162-266$$

เพิ่ม 21x ไปยัง -21x ตัดพจน์ 21x และ -21x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$15y-28y=162-266$$

เพิ่ม 15y ไปยัง -28y

$$-13y=162-266$$

เพิ่ม 162 ไปยัง -266

$$-13y=-104$$

หารทั้งสองข้างด้วย -13

$$y=8$$

ทดแทน 8 สำหรับ y ใน 3x+4y=38 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x+4\times 8=38$$

คูณ 4 ด้วย 8

$$3x+32=38$$

ลบ 32 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=8$$