แก้โจทย์ {c}{5x+2y=7}{-10x+4y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 5 x + 2 y = 7 } \\ { - 10 x + 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x+2y=7,-10x+4y=2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x+2y=7$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-2y+7$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+7\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -2y+7

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{7}{5}$$

ทดแทน \frac{-2y+7}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -10x+4y=2

$$-10\left(-\frac{2}{5}y+\frac{7}{5}\right)+4y=2$$

คูณ -10 ด้วย \frac{-2y+7}{5}

$$4y-14+4y=2$$

เพิ่ม 4y ไปยัง 4y

$$8y-14=2$$

เพิ่ม 14 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$8y=16$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน x=-\frac{2}{5}y+\frac{7}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{2}{5}\times 2+\frac{7}{5}$$

คูณ -\frac{2}{5} ด้วย 2

$$x=\frac{-4+7}{5}$$

เพิ่ม \frac{7}{5} ไปยัง -\frac{4}{5} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{3}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{3}{5},y=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x+2y=7,-10x+4y=2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&2\\-10&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&2\\-10&4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-10&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\-10&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-10&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-10&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-10&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-2\left(-10\right)}&-\frac{2}{5\times 4-2\left(-10\right)}\\-\frac{-10}{5\times 4-2\left(-10\right)}&\frac{5}{5\times 4-2\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&-\frac{1}{20}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 7-\frac{1}{20}\times 2\\\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{8}\times 2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{3}{5},y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x+2y=7,-10x+4y=2$$

เพื่อทำให้ 5x และ -10x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -10 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$-10\times 5x-10\times 2y=-10\times 7,5\left(-10\right)x+5\times 4y=5\times 2$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-50x-20y=-70,-50x+20y=10$$

ลบ -50x+20y=10 จาก -50x-20y=-70 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-50x+50x-20y-20y=-70-10$$

เพิ่ม -50x ไปยัง 50x ตัดพจน์ -50x และ 50x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-20y-20y=-70-10$$

เพิ่ม -20y ไปยัง -20y

$$-40y=-70-10$$

เพิ่ม -70 ไปยัง -10

$$-40y=-80$$

หารทั้งสองข้างด้วย -40

$$y=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ y ใน -10x+4y=2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-10x+4\times 2=2$$

คูณ 4 ด้วย 2

$$-10x+8=2$$

ลบ 8 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-10x=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -10

$$x=\frac{3}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{3}{5},y=2$$