แก้โจทย์ {c}{40x+60y=480}{30x+15y=180}

$$\left. \begin{array} { c } { 40 x + 60 y = 480 } \\ { 30 x + 15 y = 180 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=3$$

$$y=6$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$40x+60y=480$$

ลบ 60y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$40x=-60y+480$$

หารทั้งสองข้างด้วย 40

$$x=\frac{1}{40}\left(-60y+480\right)$$

คูณ \frac{1}{40} ด้วย -60y+480

$$x=-\frac{3}{2}y+12$$

ทดแทน -\frac{3y}{2}+12 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 30x+15y=180

$$30\left(-\frac{3}{2}y+12\right)+15y=180$$

คูณ 30 ด้วย -\frac{3y}{2}+12

$$-45y+360+15y=180$$

เพิ่ม -45y ไปยัง 15y

$$-30y+360=180$$

ลบ 360 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-30y=-180$$

หารทั้งสองข้างด้วย -30

$$y=6$$

ทดแทน 6 สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{2}y+12 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+12$$

คูณ -\frac{3}{2} ด้วย 6

$$x=-9+12$$

เพิ่ม 12 ไปยัง -9

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=6$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-60\times 30}&-\frac{60}{40\times 15-60\times 30}\\-\frac{30}{40\times 15-60\times 30}&\frac{40}{40\times 15-60\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{20}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 480+\frac{1}{20}\times 180\\\frac{1}{40}\times 480-\frac{1}{30}\times 180\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=3,y=6$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

เพื่อทำให้ 40x และ 30x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 30 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 40

$$30\times 40x+30\times 60y=30\times 480,40\times 30x+40\times 15y=40\times 180$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$1200x+1800y=14400,1200x+600y=7200$$

ลบ 1200x+600y=7200 จาก 1200x+1800y=14400 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$1200x-1200x+1800y-600y=14400-7200$$

เพิ่ม 1200x ไปยัง -1200x ตัดพจน์ 1200x และ -1200x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$1800y-600y=14400-7200$$

เพิ่ม 1800y ไปยัง -600y

$$1200y=14400-7200$$

เพิ่ม 14400 ไปยัง -7200

$$1200y=7200$$

หารทั้งสองข้างด้วย 1200

$$y=6$$

ทดแทน 6 สำหรับ y ใน 30x+15y=180 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$30x+15\times 6=180$$

คูณ 15 ด้วย 6

$$30x+90=180$$

ลบ 90 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$30x=90$$

หารทั้งสองข้างด้วย 30

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=6$$