แก้โจทย์ {c}{4x-y=4}{-12x+2y=-3}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x - y = 4 } \\ { - 12 x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25$$

$$y=-9$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-y=4$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=y+4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(y+4\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย y+4

$$x=\frac{1}{4}y+1$$

ทดแทน \frac{y}{4}+1 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -12x+2y=-3

$$-12\left(\frac{1}{4}y+1\right)+2y=-3$$

คูณ -12 ด้วย \frac{y}{4}+1

$$-3y-12+2y=-3$$

เพิ่ม -3y ไปยัง 2y

$$-y-12=-3$$

เพิ่ม 12 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-y=9$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=-9$$

ทดแทน -9 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{4}y+1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{4}\left(-9\right)+1$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -9

$$x=-\frac{9}{4}+1$$

เพิ่ม 1 ไปยัง -\frac{9}{4}

$$x=-\frac{5}{4}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}\\-\frac{-12}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{4}\left(-3\right)\\-3\times 4-\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}\\-9\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

เพื่อทำให้ 4x และ -12x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -12 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$-12\times 4x-12\left(-1\right)y=-12\times 4,4\left(-12\right)x+4\times 2y=4\left(-3\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-48x+12y=-48,-48x+8y=-12$$

ลบ -48x+8y=-12 จาก -48x+12y=-48 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-48x+48x+12y-8y=-48+12$$

เพิ่ม -48x ไปยัง 48x ตัดพจน์ -48x และ 48x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$12y-8y=-48+12$$

เพิ่ม 12y ไปยัง -8y

$$4y=-48+12$$

เพิ่ม -48 ไปยัง 12

$$4y=-36$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$y=-9$$

ทดแทน -9 สำหรับ y ใน -12x+2y=-3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-12x+2\left(-9\right)=-3$$

คูณ 2 ด้วย -9

$$-12x-18=-3$$

เพิ่ม 18 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-12x=15$$

หารทั้งสองข้างด้วย -12

$$x=-\frac{5}{4}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$