แก้โจทย์ {c}{3.90x+y=359.70}{-1.80x-y=-131}

$$\left. \begin{array} { c } { 3.90 x + y = 359.70 } \\ { - 1.80 x - y = - 131 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{2287}{21} = 108\frac{19}{21} \approx 108.904761905$$

$$y = -\frac{2276}{35} = -65\frac{1}{35} \approx -65.028571429$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3.9x+y=359.7$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3.9x=-y+359.7$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 3.9 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=\frac{10}{39}\left(-y+359.7\right)$$

คูณ \frac{10}{39} ด้วย -y+359.7

$$x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}$$

ทดแทน -\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -1.8x-y=-131

$$-1.8\left(-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}\right)-y=-131$$

คูณ -1.8 ด้วย -\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13}

$$\frac{6}{13}y-\frac{10791}{65}-y=-131$$

เพิ่ม \frac{6y}{13} ไปยัง -y

$$-\frac{7}{13}y-\frac{10791}{65}=-131$$

เพิ่ม \frac{10791}{65} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{7}{13}y=\frac{2276}{65}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{7}{13} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{2276}{35}$$

ทดแทน -\frac{2276}{35} สำหรับ y ใน x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{10}{39}\left(-\frac{2276}{35}\right)+\frac{1199}{13}$$

คูณ -\frac{10}{39} ครั้ง -\frac{2276}{35} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{4552}{273}+\frac{1199}{13}$$

เพิ่ม \frac{1199}{13} ไปยัง \frac{4552}{273} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{2287}{21}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\\-\frac{-1.8}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&\frac{3.9}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}&\frac{10}{21}\\-\frac{6}{7}&-\frac{13}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}\times 359.7+\frac{10}{21}\left(-131\right)\\-\frac{6}{7}\times 359.7-\frac{13}{7}\left(-131\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2287}{21}\\-\frac{2276}{35}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

เพื่อทำให้ \frac{39x}{10} และ -\frac{9x}{5} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -1.8 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3.9

$$-1.8\times 3.9x-1.8y=-1.8\times 359.7,3.9\left(-1.8\right)x+3.9\left(-1\right)y=3.9\left(-131\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-7.02x-1.8y=-647.46,-7.02x-3.9y=-510.9$$

ลบ -7.02x-3.9y=-510.9 จาก -7.02x-1.8y=-647.46 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-7.02x+7.02x-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

เพิ่ม -\frac{351x}{50} ไปยัง \frac{351x}{50} ตัดพจน์ -\frac{351x}{50} และ \frac{351x}{50} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

เพิ่ม -\frac{9y}{5} ไปยัง \frac{39y}{10}

$$2.1y=-647.46+510.9$$

เพิ่ม -647.46 ไปยัง 510.9 ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$2.1y=-136.56$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 2.1 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{2276}{35}$$

ทดแทน -\frac{2276}{35} สำหรับ y ใน -1.8x-y=-131 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-1.8x-\left(-\frac{2276}{35}\right)=-131$$

ลบ \frac{2276}{35} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-1.8x=-\frac{6861}{35}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -1.8 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=\frac{2287}{21}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$