แก้โจทย์ {c}{3x+y=5}{-2x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y = 5 } \\ { - 2 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$y = \frac{31}{8} = 3\frac{7}{8} = 3.875$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+y=5$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-y+5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -y+5

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

ทดแทน \frac{-y+5}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -2x+2y=7

$$-2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+2y=7$$

คูณ -2 ด้วย \frac{-y+5}{3}

$$\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}+2y=7$$

เพิ่ม \frac{2y}{3} ไปยัง 2y

$$\frac{8}{3}y-\frac{10}{3}=7$$

เพิ่ม \frac{10}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{8}{3}y=\frac{31}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{8}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{31}{8}$$

ทดแทน \frac{31}{8} สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{31}{8}+\frac{5}{3}$$

คูณ -\frac{1}{3} ครั้ง \frac{31}{8} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{31}{24}+\frac{5}{3}$$

เพิ่ม \frac{5}{3} ไปยัง -\frac{31}{24} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{3}{8}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{8}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{8}\times 7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\\\frac{31}{8}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

เพื่อทำให้ 3x และ -2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$-2\times 3x-2y=-2\times 5,3\left(-2\right)x+3\times 2y=3\times 7$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-6x-2y=-10,-6x+6y=21$$

ลบ -6x+6y=21 จาก -6x-2y=-10 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-6x+6x-2y-6y=-10-21$$

เพิ่ม -6x ไปยัง 6x ตัดพจน์ -6x และ 6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-2y-6y=-10-21$$

เพิ่ม -2y ไปยัง -6y

$$-8y=-10-21$$

เพิ่ม -10 ไปยัง -21

$$-8y=-31$$

หารทั้งสองข้างด้วย -8

$$y=\frac{31}{8}$$

ทดแทน \frac{31}{8} สำหรับ y ใน -2x+2y=7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-2x+2\times \frac{31}{8}=7$$

คูณ 2 ด้วย \frac{31}{8}

$$-2x+\frac{31}{4}=7$$

ลบ \frac{31}{4} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=-\frac{3}{4}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=\frac{3}{8}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$