แก้โจทย์ {c}{3x+y+5=0}{-2x-y+1=0}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y + 5 = 0 } \\ { - 2 x - y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-6$$

$$y=13$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+y+5=0$$

ลบ 5 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x+y=-5$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-y-5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-y-5\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -y-5

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}$$

ทดแทน \frac{-y-5}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -2x-y+1=0

$$-2\left(-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}\right)-y+1=0$$

คูณ -2 ด้วย \frac{-y-5}{3}

$$\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}-y+1=0$$

เพิ่ม \frac{2y}{3} ไปยัง -y

$$-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}+1=0$$

เพิ่ม \frac{10}{3} ไปยัง 1

$$-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}=0$$

ลบ \frac{13}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{13}{3}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=13$$

ทดแทน 13 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{3}\times 13-\frac{5}{3}$$

คูณ -\frac{1}{3} ด้วย 13

$$x=\frac{-13-5}{3}$$

เพิ่ม -\frac{5}{3} ไปยัง -\frac{13}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-6$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-6,y=13$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-1\\-2\left(-5\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\13\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-6,y=13$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

เพื่อทำให้ 3x และ -2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$-2\times 3x-2y-2\times 5=0,3\left(-2\right)x+3\left(-1\right)y+3=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-6x-2y-10=0,-6x-3y+3=0$$

ลบ -6x-3y+3=0 จาก -6x-2y-10=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-6x+6x-2y+3y-10-3=0$$

เพิ่ม -6x ไปยัง 6x ตัดพจน์ -6x และ 6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-2y+3y-10-3=0$$

เพิ่ม -2y ไปยัง 3y

$$y-10-3=0$$

เพิ่ม -10 ไปยัง -3

$$y-13=0$$

เพิ่ม 13 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=13$$

ทดแทน 13 สำหรับ y ใน -2x-y+1=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-2x-13+1=0$$

เพิ่ม -13 ไปยัง 1

$$-2x-12=0$$

เพิ่ม 12 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=12$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=-6$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-6,y=13$$