แก้โจทย์ {c}{3x+4y=12}{x+6y=-16}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 4 y = 12 } \\ { x + 6 y = - 16 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{68}{7} = 9\frac{5}{7} \approx 9.714285714$$

$$y = -\frac{30}{7} = -4\frac{2}{7} \approx -4.285714286$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+4y=12$$

ลบ 4y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-4y+12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+12\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -4y+12

$$x=-\frac{4}{3}y+4$$

ทดแทน -\frac{4y}{3}+4 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+6y=-16

$$-\frac{4}{3}y+4+6y=-16$$

เพิ่ม -\frac{4y}{3} ไปยัง 6y

$$\frac{14}{3}y+4=-16$$

ลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{14}{3}y=-20$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{14}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{30}{7}$$

ทดแทน -\frac{30}{7} สำหรับ y ใน x=-\frac{4}{3}y+4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{30}{7}\right)+4$$

คูณ -\frac{4}{3} ครั้ง -\frac{30}{7} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{40}{7}+4$$

เพิ่ม 4 ไปยัง \frac{40}{7}

$$x=\frac{68}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-4}&-\frac{4}{3\times 6-4}\\-\frac{1}{3\times 6-4}&\frac{3}{3\times 6-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\-\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 12-\frac{2}{7}\left(-16\right)\\-\frac{1}{14}\times 12+\frac{3}{14}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{68}{7}\\-\frac{30}{7}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

เพื่อทำให้ 3x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$3x+4y=12,3x+3\times 6y=3\left(-16\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$3x+4y=12,3x+18y=-48$$

ลบ 3x+18y=-48 จาก 3x+4y=12 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-3x+4y-18y=12+48$$

เพิ่ม 3x ไปยัง -3x ตัดพจน์ 3x และ -3x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4y-18y=12+48$$

เพิ่ม 4y ไปยัง -18y

$$-14y=12+48$$

เพิ่ม 12 ไปยัง 48

$$-14y=60$$

หารทั้งสองข้างด้วย -14

$$y=-\frac{30}{7}$$

ทดแทน -\frac{30}{7} สำหรับ y ใน x+6y=-16 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x+6\left(-\frac{30}{7}\right)=-16$$

คูณ 6 ด้วย -\frac{30}{7}

$$x-\frac{180}{7}=-16$$

เพิ่ม \frac{180}{7} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{68}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$