แก้โจทย์ {c}{3x+2y=32}{365x+226y=267.6}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { 365 x + 226 y = 267.6 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{8371}{65} = -128\frac{51}{65} \approx -128.784615385$$

$$y = \frac{27193}{130} = 209\frac{23}{130} \approx 209.176923077$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+2y=32$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-2y+32$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -2y+32

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

ทดแทน \frac{-2y+32}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 365x+226y=267.6

$$365\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+226y=267.6$$

คูณ 365 ด้วย \frac{-2y+32}{3}

$$-\frac{730}{3}y+\frac{11680}{3}+226y=267.6$$

เพิ่ม -\frac{730y}{3} ไปยัง 226y

$$-\frac{52}{3}y+\frac{11680}{3}=267.6$$

ลบ \frac{11680}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{52}{3}y=-\frac{54386}{15}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{52}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{27193}{130}$$

ทดแทน \frac{27193}{130} สำหรับ y ใน x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{27193}{130}+\frac{32}{3}$$

คูณ -\frac{2}{3} ครั้ง \frac{27193}{130} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{27193}{195}+\frac{32}{3}$$

เพิ่ม \frac{32}{3} ไปยัง -\frac{27193}{195} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{8371}{65}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{226}{3\times 226-2\times 365}&-\frac{2}{3\times 226-2\times 365}\\-\frac{365}{3\times 226-2\times 365}&\frac{3}{3\times 226-2\times 365}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{365}{52}&-\frac{3}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}\times 32+\frac{1}{26}\times 267.6\\\frac{365}{52}\times 32-\frac{3}{52}\times 267.6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8371}{65}\\\frac{27193}{130}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

เพื่อทำให้ 3x และ 365x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 365 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$365\times 3x+365\times 2y=365\times 32,3\times 365x+3\times 226y=3\times 267.6$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$1095x+730y=11680,1095x+678y=802.8$$

ลบ 1095x+678y=802.8 จาก 1095x+730y=11680 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$1095x-1095x+730y-678y=11680-802.8$$

เพิ่ม 1095x ไปยัง -1095x ตัดพจน์ 1095x และ -1095x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$730y-678y=11680-802.8$$

เพิ่ม 730y ไปยัง -678y

$$52y=11680-802.8$$

เพิ่ม 11680 ไปยัง -802.8

$$52y=10877.2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 52

$$y=\frac{27193}{130}$$

ทดแทน \frac{27193}{130} สำหรับ y ใน 365x+226y=267.6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$365x+226\times \frac{27193}{130}=267.6$$

คูณ 226 ด้วย \frac{27193}{130}

$$365x+\frac{3072809}{65}=267.6$$

ลบ \frac{3072809}{65} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$365x=-\frac{611083}{13}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 365

$$x=-\frac{8371}{65}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$