แก้โจทย์ {c}{3a=c+4+a/2}{a=c}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 a = c + 4 + \frac { a } { 2 } } \\ { a = c } \end{array} \right.$$

หาค่า a, c

$$a = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$c = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2

$$6a=2c+8+a$$

ลบ 2c จากทั้งสองด้าน

$$6a-2c=8+a$$

ลบ a จากทั้งสองด้าน

$$6a-2c-a=8$$

รวม 6a และ -a เพื่อให้ได้รับ 5a

$$5a-2c=8$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ c จากทั้งสองด้าน

$$a-c=0$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5a-2c=8,a-c=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ a โดยแยก a ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5a-2c=8$$

เพิ่ม 2c ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5a=2c+8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$a=\frac{1}{5}\left(2c+8\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย 8+2c

$$a=\frac{2}{5}c+\frac{8}{5}$$

ทดแทน \frac{8+2c}{5} สำหรับ a ในอีกสมการหนึ่ง a-c=0

$$\frac{2}{5}c+\frac{8}{5}-c=0$$

เพิ่ม \frac{2c}{5} ไปยัง -c

$$-\frac{3}{5}c+\frac{8}{5}=0$$

ลบ \frac{8}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{3}{5}c=-\frac{8}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{3}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$c=\frac{8}{3}$$

ทดแทน \frac{8}{3} สำหรับ c ใน a=\frac{2}{5}c+\frac{8}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a=\frac{2}{5}\times \frac{8}{3}+\frac{8}{5}$$

คูณ \frac{2}{5} ครั้ง \frac{8}{3} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$a=\frac{16}{15}+\frac{8}{5}$$

เพิ่ม \frac{8}{5} ไปยัง \frac{16}{15} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$a=\frac{8}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=\frac{8}{3},c=\frac{8}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2

$$6a=2c+8+a$$

ลบ 2c จากทั้งสองด้าน

$$6a-2c=8+a$$

ลบ a จากทั้งสองด้าน

$$6a-2c-a=8$$

รวม 6a และ -a เพื่อให้ได้รับ 5a

$$5a-2c=8$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ c จากทั้งสองด้าน

$$a-c=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5a-2c=8,a-c=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 8\\\frac{1}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ a และ c

$$a=\frac{8}{3},c=\frac{8}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2

$$6a=2c+8+a$$

ลบ 2c จากทั้งสองด้าน

$$6a-2c=8+a$$

ลบ a จากทั้งสองด้าน

$$6a-2c-a=8$$

รวม 6a และ -a เพื่อให้ได้รับ 5a

$$5a-2c=8$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ c จากทั้งสองด้าน

$$a-c=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5a-2c=8,a-c=0$$

เพื่อทำให้ 5a และ a เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$5a-2c=8,5a+5\left(-1\right)c=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$5a-2c=8,5a-5c=0$$

ลบ 5a-5c=0 จาก 5a-2c=8 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5a-5a-2c+5c=8$$

เพิ่ม 5a ไปยัง -5a ตัดพจน์ 5a และ -5a ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-2c+5c=8$$

เพิ่ม -2c ไปยัง 5c

$$3c=8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$c=\frac{8}{3}$$

ทดแทน \frac{8}{3} สำหรับ c ใน a-c=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a-\frac{8}{3}=0$$

เพิ่ม \frac{8}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$a=\frac{8}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=\frac{8}{3},c=\frac{8}{3}$$