แก้โจทย์ {c}{2.7x+3.1y=42.5}{x+y=15}

$$\left. \begin{array} { c } { 2.7 x + 3.1 y = 42.5 } \\ { x + y = 15 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=10$$

$$y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2.7x+3.1y=42.5$$

ลบ \frac{31y}{10} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2.7x=-3.1y+42.5$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 2.7 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=\frac{10}{27}\left(-3.1y+42.5\right)$$

คูณ \frac{10}{27} ด้วย -\frac{31y}{10}+42.5

$$x=-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}$$

ทดแทน \frac{-31y+425}{27} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+y=15

$$-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}+y=15$$

เพิ่ม -\frac{31y}{27} ไปยัง y

$$-\frac{4}{27}y+\frac{425}{27}=15$$

ลบ \frac{425}{27} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{4}{27}y=-\frac{20}{27}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{4}{27} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน x=-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{31}{27}\times 5+\frac{425}{27}$$

คูณ -\frac{31}{27} ด้วย 5

$$x=\frac{-155+425}{27}$$

เพิ่ม \frac{425}{27} ไปยัง -\frac{155}{27} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=10,y=5$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2.7-3.1}&-\frac{3.1}{2.7-3.1}\\-\frac{1}{2.7-3.1}&\frac{2.7}{2.7-3.1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2.5&7.75\\2.5&-6.75\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2.5\times 42.5+7.75\times 15\\2.5\times 42.5-6.75\times 15\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=10,y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

เพื่อทำให้ \frac{27x}{10} และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2.7

$$2.7x+3.1y=42.5,2.7x+2.7y=2.7\times 15$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2.7x+3.1y=42.5,2.7x+2.7y=40.5$$

ลบ 2.7x+2.7y=40.5 จาก 2.7x+3.1y=42.5 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2.7x-2.7x+3.1y-2.7y=\frac{85-81}{2}$$

เพิ่ม \frac{27x}{10} ไปยัง -\frac{27x}{10} ตัดพจน์ \frac{27x}{10} และ -\frac{27x}{10} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$3.1y-2.7y=\frac{85-81}{2}$$

เพิ่ม \frac{31y}{10} ไปยัง -\frac{27y}{10}

$$0.4y=\frac{85-81}{2}$$

เพิ่ม 42.5 ไปยัง -40.5 ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$0.4y=2$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 0.4 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน x+y=15 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x+5=15$$

ลบ 5 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=10,y=5$$