แก้โจทย์ {c}{2x+9y=-7}{6x-3y=9}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 9 y = - 7 } \\ { 6 x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+9y=-7,6x-3y=9$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+9y=-7$$

ลบ 9y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-9y-7$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y-7\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -9y-7

$$x=-\frac{9}{2}y-\frac{7}{2}$$

ทดแทน \frac{-9y-7}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 6x-3y=9

$$6\left(-\frac{9}{2}y-\frac{7}{2}\right)-3y=9$$

คูณ 6 ด้วย \frac{-9y-7}{2}

$$-27y-21-3y=9$$

เพิ่ม -27y ไปยัง -3y

$$-30y-21=9$$

เพิ่ม 21 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-30y=30$$

หารทั้งสองข้างด้วย -30

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน x=-\frac{9}{2}y-\frac{7}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{9}{2}\left(-1\right)-\frac{7}{2}$$

คูณ -\frac{9}{2} ด้วย -1

$$x=\frac{9-7}{2}$$

เพิ่ม -\frac{7}{2} ไปยัง \frac{9}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+9y=-7,6x-3y=9$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-9\times 6}&-\frac{9}{2\left(-3\right)-9\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-9\times 6}&\frac{2}{2\left(-3\right)-9\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\left(-7\right)+\frac{3}{20}\times 9\\\frac{1}{10}\left(-7\right)-\frac{1}{30}\times 9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1,y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+9y=-7,6x-3y=9$$

เพื่อทำให้ 2x และ 6x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$6\times 2x+6\times 9y=6\left(-7\right),2\times 6x+2\left(-3\right)y=2\times 9$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$12x+54y=-42,12x-6y=18$$

ลบ 12x-6y=18 จาก 12x+54y=-42 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$12x-12x+54y+6y=-42-18$$

เพิ่ม 12x ไปยัง -12x ตัดพจน์ 12x และ -12x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$54y+6y=-42-18$$

เพิ่ม 54y ไปยัง 6y

$$60y=-42-18$$

เพิ่ม -42 ไปยัง -18

$$60y=-60$$

หารทั้งสองข้างด้วย 60

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน 6x-3y=9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$6x-3\left(-1\right)=9$$

คูณ -3 ด้วย -1

$$6x+3=9$$

ลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=-1$$