แก้โจทย์ {c}{2x+7y=77}{x-2y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 7 y = 77 } \\ { x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{168}{11} = 15\frac{3}{11} \approx 15.272727273$$

$$y = \frac{73}{11} = 6\frac{7}{11} \approx 6.636363636$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x+7y=77$$

ลบ 7y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-7y+77$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+77\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -7y+77

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2}$$

ทดแทน \frac{-7y+77}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x-2y=2

$$-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2}-2y=2$$

เพิ่ม -\frac{7y}{2} ไปยัง -2y

$$-\frac{11}{2}y+\frac{77}{2}=2$$

ลบ \frac{77}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{73}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{11}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{73}{11}$$

ทดแทน \frac{73}{11} สำหรับ y ใน x=-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{7}{2}\times \frac{73}{11}+\frac{77}{2}$$

คูณ -\frac{7}{2} ครั้ง \frac{73}{11} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{511}{22}+\frac{77}{2}$$

เพิ่ม \frac{77}{2} ไปยัง -\frac{511}{22} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{168}{11}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-7}&-\frac{7}{2\left(-2\right)-7}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-7}&\frac{2}{2\left(-2\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 77+\frac{7}{11}\times 2\\\frac{1}{11}\times 77-\frac{2}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{168}{11}\\\frac{73}{11}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

เพื่อทำให้ 2x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$2x+7y=77,2x+2\left(-2\right)y=2\times 2$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$2x+7y=77,2x-4y=4$$

ลบ 2x-4y=4 จาก 2x+7y=77 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-2x+7y+4y=77-4$$

เพิ่ม 2x ไปยัง -2x ตัดพจน์ 2x และ -2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$7y+4y=77-4$$

เพิ่ม 7y ไปยัง 4y

$$11y=77-4$$

เพิ่ม 77 ไปยัง -4

$$11y=73$$

หารทั้งสองข้างด้วย 11

$$y=\frac{73}{11}$$

ทดแทน \frac{73}{11} สำหรับ y ใน x-2y=2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x-2\times \frac{73}{11}=2$$

คูณ -2 ด้วย \frac{73}{11}

$$x-\frac{146}{11}=2$$

เพิ่ม \frac{146}{11} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{168}{11}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$