แก้โจทย์ {c}{14x-8y=15}{70x-32y=67}

$$\left. \begin{array} { c } { 14 x - 8 y = 15 } \\ { 70 x - 32 y = 67 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$14x-8y=15,70x-32y=67$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$14x-8y=15$$

เพิ่ม 8y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$14x=8y+15$$

หารทั้งสองข้างด้วย 14

$$x=\frac{1}{14}\left(8y+15\right)$$

คูณ \frac{1}{14} ด้วย 8y+15

$$x=\frac{4}{7}y+\frac{15}{14}$$

ทดแทน \frac{4y}{7}+\frac{15}{14} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 70x-32y=67

$$70\left(\frac{4}{7}y+\frac{15}{14}\right)-32y=67$$

คูณ 70 ด้วย \frac{4y}{7}+\frac{15}{14}

$$40y+75-32y=67$$

เพิ่ม 40y ไปยัง -32y

$$8y+75=67$$

ลบ 75 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$8y=-8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน x=\frac{4}{7}y+\frac{15}{14} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{4}{7}\left(-1\right)+\frac{15}{14}$$

คูณ \frac{4}{7} ด้วย -1

$$x=-\frac{4}{7}+\frac{15}{14}$$

เพิ่ม \frac{15}{14} ไปยัง -\frac{4}{7} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{1}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{1}{2},y=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$14x-8y=15,70x-32y=67$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}14&-8\\70&-32\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\67\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}14&-8\\70&-32\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}14&-8\\70&-32\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14&-8\\70&-32\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-8\\70&-32\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\67\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-8\\70&-32\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\67\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-8\\70&-32\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\67\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{32}{14\left(-32\right)-\left(-8\times 70\right)}&-\frac{-8}{14\left(-32\right)-\left(-8\times 70\right)}\\-\frac{70}{14\left(-32\right)-\left(-8\times 70\right)}&\frac{14}{14\left(-32\right)-\left(-8\times 70\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\67\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{1}{14}\\-\frac{5}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\67\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\times 15+\frac{1}{14}\times 67\\-\frac{5}{8}\times 15+\frac{1}{8}\times 67\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{1}{2},y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$14x-8y=15,70x-32y=67$$

เพื่อทำให้ 14x และ 70x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 70 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 14

$$70\times 14x+70\left(-8\right)y=70\times 15,14\times 70x+14\left(-32\right)y=14\times 67$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$980x-560y=1050,980x-448y=938$$

ลบ 980x-448y=938 จาก 980x-560y=1050 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$980x-980x-560y+448y=1050-938$$

เพิ่ม 980x ไปยัง -980x ตัดพจน์ 980x และ -980x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-560y+448y=1050-938$$

เพิ่ม -560y ไปยัง 448y

$$-112y=1050-938$$

เพิ่ม 1050 ไปยัง -938

$$-112y=112$$

หารทั้งสองข้างด้วย -112

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน 70x-32y=67 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$70x-32\left(-1\right)=67$$

คูณ -32 ด้วย -1

$$70x+32=67$$

ลบ 32 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$70x=35$$

หารทั้งสองข้างด้วย 70

$$x=\frac{1}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{1}{2},y=-1$$