แก้โจทย์ {c}{-11x+12y=85}{17x-14y=-5}

$$\left. \begin{array} { c } { - 11 x + 12 y = 85 } \\ { 17 x - 14 y = - 5 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{113}{5} = 22\frac{3}{5} = 22.6$$

$$y = \frac{139}{5} = 27\frac{4}{5} = 27.8$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-11x+12y=85,17x-14y=-5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-11x+12y=85$$

ลบ 12y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-11x=-12y+85$$

หารทั้งสองข้างด้วย -11

$$x=-\frac{1}{11}\left(-12y+85\right)$$

คูณ -\frac{1}{11} ด้วย -12y+85

$$x=\frac{12}{11}y-\frac{85}{11}$$

ทดแทน \frac{12y-85}{11} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 17x-14y=-5

$$17\left(\frac{12}{11}y-\frac{85}{11}\right)-14y=-5$$

คูณ 17 ด้วย \frac{12y-85}{11}

$$\frac{204}{11}y-\frac{1445}{11}-14y=-5$$

เพิ่ม \frac{204y}{11} ไปยัง -14y

$$\frac{50}{11}y-\frac{1445}{11}=-5$$

เพิ่ม \frac{1445}{11} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{50}{11}y=\frac{1390}{11}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{50}{11} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{139}{5}$$

ทดแทน \frac{139}{5} สำหรับ y ใน x=\frac{12}{11}y-\frac{85}{11} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{12}{11}\times \frac{139}{5}-\frac{85}{11}$$

คูณ \frac{12}{11} ครั้ง \frac{139}{5} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{1668}{55}-\frac{85}{11}$$

เพิ่ม -\frac{85}{11} ไปยัง \frac{1668}{55} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{113}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{113}{5},y=\frac{139}{5}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-11x+12y=85,17x-14y=-5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-11&12\\17&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-11&12\\17&-14\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-11&12\\17&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11&12\\17&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&12\\17&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\-5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&12\\17&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&12\\17&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\-5\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{-11\left(-14\right)-12\times 17}&-\frac{12}{-11\left(-14\right)-12\times 17}\\-\frac{17}{-11\left(-14\right)-12\times 17}&-\frac{11}{-11\left(-14\right)-12\times 17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}85\\-5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}&\frac{6}{25}\\\frac{17}{50}&\frac{11}{50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}85\\-5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}\times 85+\frac{6}{25}\left(-5\right)\\\frac{17}{50}\times 85+\frac{11}{50}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{113}{5}\\\frac{139}{5}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{113}{5},y=\frac{139}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-11x+12y=85,17x-14y=-5$$

เพื่อทำให้ -11x และ 17x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 17 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -11

$$17\left(-11\right)x+17\times 12y=17\times 85,-11\times 17x-11\left(-14\right)y=-11\left(-5\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-187x+204y=1445,-187x+154y=55$$

ลบ -187x+154y=55 จาก -187x+204y=1445 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-187x+187x+204y-154y=1445-55$$

เพิ่ม -187x ไปยัง 187x ตัดพจน์ -187x และ 187x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$204y-154y=1445-55$$

เพิ่ม 204y ไปยัง -154y

$$50y=1445-55$$

เพิ่ม 1445 ไปยัง -55

$$50y=1390$$

หารทั้งสองข้างด้วย 50

$$y=\frac{139}{5}$$

ทดแทน \frac{139}{5} สำหรับ y ใน 17x-14y=-5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$17x-14\times \frac{139}{5}=-5$$

คูณ -14 ด้วย \frac{139}{5}

$$17x-\frac{1946}{5}=-5$$

เพิ่ม \frac{1946}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$17x=\frac{1921}{5}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 17

$$x=\frac{113}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{113}{5},y=\frac{139}{5}$$