แก้โจทย์ {c}{3/2a+b=1}{a+b/2=7}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 3 } { 2 } a + b = 1 } \\ { a + \frac { b } { 2 } = 7 } \end{array} \right.$$

หาค่า a, b

$$a=26$$

$$b=-38$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ a โดยแยก a ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{3}{2}a+b=1$$

ลบ b จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{3}{2}a=-b+1$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{3}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$a=\frac{2}{3}\left(-b+1\right)$$

คูณ \frac{2}{3} ด้วย -b+1

$$a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}$$

ทดแทน \frac{-2b+2}{3} สำหรับ a ในอีกสมการหนึ่ง a+\frac{1}{2}b=7

$$-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}b=7$$

เพิ่ม -\frac{2b}{3} ไปยัง \frac{b}{2}

$$-\frac{1}{6}b+\frac{2}{3}=7$$

ลบ \frac{2}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{1}{6}b=\frac{19}{3}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -6

$$b=-38$$

ทดแทน -38 สำหรับ b ใน a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a=-\frac{2}{3}\left(-38\right)+\frac{2}{3}$$

คูณ -\frac{2}{3} ด้วย -38

$$a=\frac{76+2}{3}$$

เพิ่ม \frac{2}{3} ไปยัง \frac{76}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$a=26$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$a=26,b=-38$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\\-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&4\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+4\times 7\\4-6\times 7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\-38\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ a และ b

$$a=26,b=-38$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

เพื่อทำให้ \frac{3a}{2} และ a เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย \frac{3}{2}

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}b=\frac{3}{2}\times 7$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2}$$

ลบ \frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2} จาก \frac{3}{2}a+b=1 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}a+b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

เพิ่ม \frac{3a}{2} ไปยัง -\frac{3a}{2} ตัดพจน์ \frac{3a}{2} และ -\frac{3a}{2} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

เพิ่ม b ไปยัง -\frac{3b}{4}

$$\frac{1}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

เพิ่ม 1 ไปยัง -\frac{21}{2}

$$\frac{1}{4}b=-\frac{19}{2}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 4

$$b=-38$$

ทดแทน -38 สำหรับ b ใน a+\frac{1}{2}b=7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a+\frac{1}{2}\left(-38\right)=7$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย -38

$$a-19=7$$

เพิ่ม 19 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$a=26$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$a=26,b=-38$$