แก้โจทย์ left(p^6+5p^3+12right)=0

$$\left( { p }^{ 6 } +5 { p }^{ 3 } +12 \right) =0$$

หาค่า p

$$p\in \sqrt[3]{2}\sqrt[6]{3}e^{\frac{\left(\arctan(\frac{\sqrt{23}}{5})+\pi \right)i}{3}},\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{3}e^{\frac{\arctan(\frac{\sqrt{23}}{5})i+5\pi i}{3}},\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{3}e^{\frac{\arctan(\frac{\sqrt{23}}{5})i+3\pi i}{3}},\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{3}e^{\frac{-\arctan(\frac{\sqrt{23}}{5})i+5\pi i}{3}},\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{3}e^{\frac{-\arctan(\frac{\sqrt{23}}{5})i+\pi i}{3}},\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{3}e^{\frac{-\arctan(\frac{\sqrt{23}}{5})i+3\pi i}{3}}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

แทนค่า t สำหรับ p^{3}

$$t^{2}+5t+12=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 1 สำหรับ a 5 สำหรับ b และ 12 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$t=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 1\times 12}}{2}$$

ทำการคำนวณ

$$t=\frac{-5±\sqrt{-23}}{2}$$

แก้สมการ t=\frac{-5±\sqrt{-23}}{2} เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$t=\frac{-5+\sqrt{23}i}{2} t=\frac{-\sqrt{23}i-5}{2}$$

เนื่องจาก p=t^{3} โซลูชันได้รับโดยการแก้ไขสมการสำหรับแต่ละ t

$$p=\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{3}e^{\frac{-\arctan(\frac{\sqrt{23}}{5})i+5\pi i}{3}} p=\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{3}e^{\frac{-\arctan(\frac{\sqrt{23}}{5})i+3\pi i}{3}} p=\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{3}e^{\frac{-\arctan(\frac{\sqrt{23}}{5})i+\pi i}{3}} p=\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{3}e^{\frac{\arctan(\frac{\sqrt{23}}{5})i+5\pi i}{3}} p=\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{3}e^{\frac{\arctan(\frac{\sqrt{23}}{5})i+3\pi i}{3}} p=\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{3}e^{\frac{\left(\arctan(\frac{\sqrt{23}}{5})+\pi \right)i}{3}}$$