แก้โจทย์ {l}{4x+y=-2}{5x-2y=-48}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ 4 x + y = - 2 }\\{ 5 x - 2 y = - 48 }\end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-4$$

$$y=14$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x+y=-2,5x-2y=-48$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x+y=-2$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-y-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-2\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย -y-2

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}$$

ทดแทน -\frac{y}{4}-\frac{1}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x-2y=-48

$$5\left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)-2y=-48$$

คูณ 5 ด้วย -\frac{y}{4}-\frac{1}{2}

$$-\frac{5}{4}y-\frac{5}{2}-2y=-48$$

เพิ่ม -\frac{5y}{4} ไปยัง -2y

$$-\frac{13}{4}y-\frac{5}{2}=-48$$

เพิ่ม \frac{5}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{13}{4}y=-\frac{91}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{13}{4} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=14$$

ทดแทน 14 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{4}\times 14-\frac{1}{2}$$

คูณ -\frac{1}{4} ด้วย 14

$$x=\frac{-7-1}{2}$$

เพิ่ม -\frac{1}{2} ไปยัง -\frac{7}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-4,y=14$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x+y=-2,5x-2y=-48$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-5}&-\frac{1}{4\left(-2\right)-5}\\-\frac{5}{4\left(-2\right)-5}&\frac{4}{4\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{5}{13}&-\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\left(-2\right)+\frac{1}{13}\left(-48\right)\\\frac{5}{13}\left(-2\right)-\frac{4}{13}\left(-48\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\14\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-4,y=14$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x+y=-2,5x-2y=-48$$

เพื่อทำให้ 4x และ 5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 4

$$5\times 4x+5y=5\left(-2\right),4\times 5x+4\left(-2\right)y=4\left(-48\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$20x+5y=-10,20x-8y=-192$$

ลบ 20x-8y=-192 จาก 20x+5y=-10 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$20x-20x+5y+8y=-10+192$$

เพิ่ม 20x ไปยัง -20x ตัดพจน์ 20x และ -20x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$5y+8y=-10+192$$

เพิ่ม 5y ไปยัง 8y

$$13y=-10+192$$

เพิ่ม -10 ไปยัง 192

$$13y=182$$

หารทั้งสองข้างด้วย 13

$$y=14$$

ทดแทน 14 สำหรับ y ใน 5x-2y=-48 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x-2\times 14=-48$$

คูณ -2 ด้วย 14

$$5x-28=-48$$

เพิ่ม 28 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-20$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=-4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-4,y=14$$